MDC — Máximo Divisor Comum
O MDC de dois ou mais números é o maior número inteiro que divide todos eles sem deixar resto. É a conta por trás de repartir coisas em grupos iguais, do maior tamanho possível, sem sobrar nada.
Calcule
Divisores de cada número
Passo a passo
Como calcular à mão
Há dois caminhos. Os dois chegam ao mesmo número; vale saber os dois, porque cada um é mais rápido numa situação.
1. Decomposição em fatores primos
- Escreva cada número como produto de primos.
- Separe os primos que aparecem em todos os números.
- Multiplique esses primos, cada um com o menor expoente em que aparece.
Exemplo, MDC(28, 42):
Os primos comuns são 2 e 7. O 2 aparece com expoente 2 no 28 e 1 no 42; fica o menor, 1. Então MDC(28, 42) = 2 × 7 = 14.
2. Algoritmo de Euclides (divisões sucessivas)
- Divida o maior número pelo menor.
- Troque o par: o divisor vira o novo dividendo, e o resto vira o novo divisor.
- Repita até o resto dar zero. O último divisor é o MDC.
Exemplo, MDC(28, 42):
O resto zerou com divisor 14, então MDC(28, 42) = 14.
Por que funciona: qualquer número que divide 42 e 28 também divide a diferença entre eles, e portanto o resto 14. O par muda, mas os divisores comuns continuam os mesmos — só que com números cada vez menores.
Quando usar o MDC
Sempre que a pergunta for “qual o maior tamanho que cabe certinho em todos?”: cortar fitas de comprimentos diferentes em pedaços iguais do maior tamanho, montar kits idênticos com o que há em estoque, simplificar uma fração (dividir numerador e denominador pelo MDC leva direto à forma irredutível: 28/42 = 2/3).
Teste você mesmo
1. Calcule o MDC(36, 60).
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36 = 2² × 3² e 60 = 2² × 3 × 5. Os primos comuns são 2 e 3, com os menores expoentes 2² e 3¹.
MDC(36, 60) = 2² × 3 = 12.
2. Você tem 12 bolas azuis e 18 bolas vermelhas e quer montar grupos iguais — mesma quantidade de azuis e de vermelhas em cada grupo —, sem sobrar nenhuma bola. Qual é o maior número de grupos que dá para formar?
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O número de grupos precisa dividir 12 e 18 ao mesmo tempo, e queremos o maior: MDC(12, 18) = 6 grupos.
Cada grupo fica com 12 ÷ 6 = 2 azuis e 18 ÷ 6 = 3 vermelhas.
3. Uma marceneira tem duas tábuas, de 120 cm e 84 cm, e quer cortá-las em pedaços todos do mesmo tamanho, o maior possível, sem desperdício. Qual o tamanho de cada pedaço e quantos pedaços saem?
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Por Euclides: 120 = 1 × 84 + 36; 84 = 2 × 36 + 12; 36 = 3 × 12 + 0. MDC(120, 84) = 12 cm.
Saem 120 ÷ 12 = 10 pedaços de uma tábua e 84 ÷ 12 = 7 da outra: 17 pedaços.