MMC — Mínimo Múltiplo Comum

O MMC de dois ou mais números é o menor número que é múltiplo de todos eles ao mesmo tempo — o primeiro que aparece na tabuada de cada um. É a conta por trás de “quando as coisas voltam a coincidir?”.

Calcule

Exemplos:

Tabela de divisões

Passo a passo

    Na tabuada

    Como calcular à mão

    1. Divisões sucessivas (a “tabela”)

    1. Escreva os números lado a lado e trace uma linha vertical à direita.
    2. Divida pelo menor primo que divide pelo menos um deles: 2, depois 3, 5, 7, 11… Quem não for divisível desce igual.
    3. Continue até a linha de baixo ficar toda de 1.
    4. O MMC é o produto dos primos da coluna da direita.

    É o método que a calculadora acima monta. Repare na diferença para o MDC: aqui basta o primo dividir um dos números para entrar na conta, por isso o MMC sai grande; no MDC, o primo precisa dividir todos.

    2. Decomposição em fatores primos

    1. Fatore cada número.
    2. Pegue todos os primos que aparecem, em qualquer um dos números.
    3. Cada primo entra com o maior expoente em que aparece.

    Exemplo, MMC(12, 18):

    Atalho para dois números. O produto de dois números é sempre igual ao MDC vezes o MMC: a × b = MDC(a, b) × MMC(a, b). Então, se você já sabe o MDC, MMC(12, 18) = 12 × 18 ÷ 6 = 36. E se os números são primos entre si (MDC = 1), o MMC é simplesmente o produto: MMC(7, 9) = 63.

    Quando usar o MMC

    Sempre que a pergunta for “quando os ciclos voltam a coincidir?” ou “qual o menor tamanho em que todos cabem certinho?”: ônibus que partem em intervalos diferentes, manutenções periódicas, e o denominador comum para somar frações (1/12 + 1/18 = 3/36 + 2/36 = 5/36).

    Exemplo resolvido

    Três sensores de qualidade do ar enviam sinal a cada 15, 20 e 24 minutos. Todos enviaram juntos às 8h00. Quando voltam a enviar ao mesmo tempo?

    8h00 + 120 minutos = 10h00.

    Teste você mesmo

    1. Numa fábrica, a máquina A passa por manutenção a cada 12 dias e a máquina B a cada 18 dias. Se hoje as duas passaram por manutenção, daqui a quantos dias isso volta a acontecer no mesmo dia?

    Ver resposta

    12 = 2² × 3 e 18 = 2 × 3². MMC(12, 18) = 2² × 3² = 36 dias.

    Nesse dia, a máquina A terá feito 36 ÷ 12 = 3 manutenções, e a B, 36 ÷ 18 = 2.

    2. Calcule 1/4 + 1/6 + 1/10 usando o MMC dos denominadores.

    Ver resposta

    MMC(4, 6, 10) = 2² × 3 × 5 = 60.

    1/4 + 1/6 + 1/10 = 15/60 + 10/60 + 6/60 = 31/60.

    3. Qual o menor número de alunos que uma turma pode ter para ser dividida, sem sobrar ninguém, tanto em grupos de 6 quanto em grupos de 8 ou de 9?

    Ver resposta

    6 = 2 × 3, 8 = 2³ e 9 = 3². MMC(6, 8, 9) = 2³ × 3² = 72 alunos.