Constantes — π, e e o Número de Ouro
Alguns números aparecem em toda parte, sem que ninguém os tenha escolhido. Nenhum deles cabe numa fração — são irracionais, com infinitas casas que não se repetem —, mas todos podem ser construídos, chegando cada vez mais perto. Nas aproximações abaixo, os algarismos que já estão certos ficam em verde.
π ≈ 3,14159 — a constante do círculo
Em qualquer círculo, de uma moeda a uma órbita, o comprimento da circunferência dividido pelo diâmetro dá sempre o mesmo número: π. Egípcios e babilônios já tinham notado que a razão é constante, e usavam aproximações como 3 ou 25/8. A letra π, de perímetro, foi popularizada por Euler no século XVIII.
Arquimedes: cercar o círculo
No século III a.C., Arquimedes não tinha como medir uma curva com precisão, mas sabia medir segmentos de reta. Então desenhou um polígono dentro do círculo e outro fora: o perímetro do círculo fica entre os dois.
Três séries para π
Uma série é uma soma infinita. Somar mais termos chega mais perto, e cada série chega num ritmo diferente.
Onde π aparece
Em tudo que é redondo ou periódico: áreas e volumes (a esfera tem volume ⁴⁄₃πr³), ângulos em radianos (uma volta completa é 2π), senos, cossenos e ondas. E na estatística, na própria distribuição normal: o √(2π) do denominador é o que faz a área sob a curva dar exatamente 1.
e ≈ 2,71828 — a constante do crescimento
Jacob Bernoulli encontrou e em 1683 estudando juros compostos. Euler deu a ele a letra e e mostrou que o mesmo número aparece em logaritmos, em derivadas e em séries.
Juros compostos: R$ 1 a 100% ao ano
Uma aplicação paga 100% ao ano. Se os juros entram uma vez por ano, R$ 1 vira R$ 2. Se entram duas vezes, cada metade do ano rende 50% sobre o que já rendeu: 1,5 × 1,5 = R$ 2,25. E se entrarem cada vez mais vezes?
Um caminho mais rápido: os fatoriais
Os juros chegam em e muito devagar: capitalizando a cada segundo, ainda erram na sétima casa. Euler achou uma soma que converge muito mais rápido, porque os fatoriais crescem depressa e os termos somem logo.
Onde e aparece
A função eˣ é a única que é igual à própria derivada: a taxa de crescimento é o próprio valor. Por isso e aparece sempre que algo cresce ou decresce em proporção ao que já é — populações, juros contínuos, decaimento radioativo, resfriamento. Na estatística, está na distribuição de Poisson (o e−λ) e na normal (o e−z²/2), e o logaritmo de base e é o “ln” das calculadoras.
φ ≈ 1,61803 — o número de ouro
Os gregos chamavam de “divisão em média e extrema razão” cortar um segmento em duas partes, a e b, de modo que o todo esteja para a parte maior assim como a parte maior está para a menor. Essa razão é φ. Ela aparece no pentágono regular — a diagonal dividida pelo lado dá φ.
Chamando a/b de x, a condição vira x² − x − 1 = 0, uma equação do 2º grau. φ é a raiz positiva — e daí saem duas propriedades curiosas:
Fibonacci: φ montado com quadrados
Na sequência 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…, cada número é a soma dos dois anteriores. Encostando quadrados com esses lados, sai um retângulo que se aproxima cada vez mais da proporção áurea — e a razão entre dois termos seguidos tende a φ.
Bônus: α ≈ 1/137 — uma constante da física
As três constantes acima são da matemática: saem de definições, e qualquer civilização chegaria aos mesmos valores. A constante de estrutura fina, α, é diferente — é medida, não deduzida. Ela dá a intensidade da força eletromagnética entre a luz e as partículas com carga.
Aqui e é a carga do elétron (não o número de Euler), ε₀ a permissividade do vácuo, ħ a constante de Planck reduzida e c a velocidade da luz. Com os valores medidos:
As unidades dos quatro se cancelam: α é um número puro, igual em qualquer sistema de medidas. Ninguém sabe por que ele vale cerca de 1/137 — Richard Feynman o chamou de “um dos maiores mistérios da física”. Se fosse um pouco diferente, os átomos e a química seriam outros.
Teste você mesmo
1. Uma roda de bicicleta tem 70 cm de diâmetro. Quanto ela anda em uma volta completa?
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Uma volta é a circunferência: C = π · d ≈ 3,1416 × 70 ≈ 219,9 cm, cerca de 2,2 m.
2. Por que 22/7 é uma boa aproximação de π, mas não é π?
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22/7 = 3,142857…, que acerta as duas primeiras casas (3,14). Mas é uma fração, e frações dão decimais exatos ou periódicos — o 142857 se repete para sempre. π é irracional: suas casas nunca entram num ciclo, então nenhuma fração é igual a π.
3. R$ 1 a 100% ao ano, capitalizado todo mês, rende quanto ao fim do ano?
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(1 + 1/12)¹² ≈ R$ 2,613. Mais que os R$ 2 da capitalização anual, menos que o limite e ≈ 2,718.
4. Some as cinco primeiras parcelas de 1/k! e compare com e.
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1 + 1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 = 2,7083…, que já acerta a primeira casa (2,7). Com dez parcelas, acerta seis.
5. Mostre que φ² = φ + 1, usando que φ é raiz de x² − x − 1 = 0.
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Se φ é raiz, então φ² − φ − 1 = 0. Passando φ e 1 para o outro lado: φ² = φ + 1. Dividindo tudo por φ, sai também φ = 1 + 1/φ, ou seja, 1/φ = φ − 1.
6. Calcule 13/8, 21/13 e 34/21. O que acontece?
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1,625; 1,6154; 1,6190. Os valores passam alternadamente acima e abaixo de φ ≈ 1,6180, cada vez mais perto.