Conjuntos — Diagrama de Venn Interativo
Um conjunto é uma coleção de elementos, sem ordem e sem repetição. As operações entre conjuntos são o “ou”, o “e” e o “não” da língua — e são exatamente a linguagem em que a probabilidade se escreve.
Notação
Os elementos vão entre chaves. A ordem não importa: {6, 2, 4} é o mesmo conjunto.
∈ se lê “pertence a”: liga um elemento a um conjunto.
⊂ se lê “está contido em”: liga um conjunto a outro. Todo elemento de um está no outro.
Dois conjuntos são iguais quando cada um está contido no outro: têm os mesmos elementos.
O vazio não tem elemento nenhum. O universo U tem todos os que estão em jogo — o complemento é sempre relativo a ele.
As barras dão o número de elementos (a cardinalidade). É o que se conta na seção de contagem.
Diagrama de Venn: clique nas regiões
Regiões
Atalhos
As quatro operações
União — “ou”. Está em A, em B, ou nos dois. É um “ou” inclusivo: estar nos dois também vale.
Interseção — “e”. Está em A e em B ao mesmo tempo. Se for vazia, os conjuntos são disjuntos.
Diferença — “mas não”. Está em A, mas não em B. A ordem importa: A − B ≠ B − A.
Complemento — “não”. Tudo do universo que não está em A: Aᶜ = U − A.
Leis: confira no diagrama
Uma lei de conjuntos diz que duas expressões pintam exatamente as mesmas regiões. Escolha uma e compare os dois lados — inclusive as que parecem verdade, mas não são.
Contagem: inclusão e exclusão
Para saber quantos elementos tem uma união, não basta somar: quem está na interseção apareceria duas vezes. Os valores abaixo são os mesmos em todos os cards; o exemplo inicial é uma turma de 40 alunos em que 25 gostam de café, 18 de chá e 8 dos dois.
Nos controles, a = |A|, b = |B|, i = |A ∩ B| e, na regra da probabilidade mais abaixo, n é o total de elementos do universo.
Somar direto
não vale
Com três conjuntos a ideia é a mesma: soma os três, tira as três interseções de dois (contadas duas vezes) e devolve a dos três (que foi tirada demais):
A ponte para a probabilidade
Em probabilidade, o universo é o espaço amostral (tudo o que pode acontecer) e cada conjunto é um evento. As operações ganham leitura de eventos:
| Conjuntos | Eventos | Exemplo com um dado |
|---|---|---|
| A ou B acontece | sair par ou maior que 3: {2, 4, 5, 6} | |
| A e B acontecem | sair par e maior que 3: {4, 6} | |
| A não acontece | não sair par: {1, 3, 5} | |
| A e B são mutuamente exclusivos | sair 1 e sair 6 no mesmo lance |
E a regra da inclusão e exclusão, dividida pelo total, vira a regra da soma das probabilidades:
Regra da soma
valeCom o dado: P(par ou maior que 3) = 3/6 + 3/6 − 2/6 = 4/6. Daqui em diante a linguagem de conjuntos aparece em toda parte: na probabilidade condicional, P(A | B) = P(A ∩ B)/P(B); no teorema da probabilidade total, que reparte o espaço em conjuntos disjuntos; e no teorema de Bayes.
Teste você mesmo
1. Com A = {1, 2, 3, 4} e B = {3, 4, 5}, escreva A ∪ B, A ∩ B, A − B e B − A.
Ver resposta
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5} (o 3 e o 4 não se repetem); A ∩ B = {3, 4}; A − B = {1, 2}; B − A = {5}.
2. Numa turma de 40 alunos, 25 gostam de café, 18 de chá e 8 dos dois. Quantos não gostam de nenhum?
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|café ∪ chá| = 25 + 18 − 8 = 35. Ficam de fora 40 − 35 = 5 alunos.
3. Use De Morgan para reescrever “não é verdade que chove ou faz frio”.
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(C ∪ F)ᶜ = Cᶜ ∩ Fᶜ: “não chove e não faz frio”. O “não” entra nos parênteses e troca o “ou” por “e”.
4. É sempre verdade que A ⊂ A ∪ B? E que A ∩ B ⊂ A?
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Sim, os dois. A união só acrescenta elementos a A; a interseção só pode tirar. Por isso, em probabilidade, P(A ∩ B) ≤ P(A) ≤ P(A ∪ B).
5. Se P(A) = 0,5, P(B) = 0,4 e P(A ∩ B) = 0,2, quanto vale P(A ∪ B)? E a probabilidade de não acontecer nenhum dos dois?
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P(A ∪ B) = 0,5 + 0,4 − 0,2 = 0,7. Nenhum dos dois é o complemento: 1 − 0,7 = 0,3.
6. Numa pesquisa com 100 pessoas, 50 leem jornal, 40 revista e 30 livros; 20 leem jornal e revista, 15 jornal e livros, 10 revista e livros, e 5 leem os três. Quantas leem pelo menos um?
Ver resposta
Inclusão e exclusão com três conjuntos: 50 + 40 + 30 − 20 − 15 − 10 + 5 = 80 pessoas. As outras 20 não leem nenhum.