Equação do 2º Grau — Fórmula Quadrática e Parábola
Uma equação do 2º grau tem a forma ax² + bx + c = 0, com a ≠ 0. Resolvê-la é achar os valores de x que zeram a expressão — e, no gráfico, é achar onde a parábola cruza o eixo x. Mexa em a, b e c e veja as duas coisas mudarem juntas.
A parábola e as raízes
Passo a passo
Para coeficientes com vírgula ou raízes complexas, use a calculadora da fórmula quadrática.
De onde vem a fórmula
Algumas equações do 2º grau se resolvem sem fórmula nenhuma. Se a equação fosse
bastaria tirar a raiz dos dois lados — lembrando que tanto 3 quanto −3 elevados ao quadrado dão 9:
A fórmula quadrática é só isso feito em geral: transformar qualquer ax² + bx + c = 0 num quadrado perfeito igual a um número (“completar o quadrado”) e depois tirar a raiz.
- Divida tudo por a e passe o c para o outro lado:
- Lembre que (x + k)² = x² + 2kx + k². Para o lado esquerdo virar um quadrado, falta o k², com k = b/2a. Some nos dois lados:
- O lado esquerdo agora é um quadrado; junte o direito numa fração só:
- Tire a raiz dos dois lados (com ±) e isole x:
Por que o Δ manda. O passo 3 mostra que um quadrado — que nunca é negativo — tem que ser igual a Δ/4a². Se Δ < 0, não há número real que sirva, e a equação não tem solução real. É o mesmo que se vê no gráfico: a parábola não chega ao eixo x.
O “−b/2a” que aparece no meio da conta é o x do vértice: as duas raízes ficam à mesma distância dele, uma para cada lado. A expansão de (x + k)² é a mesma do quadrado de uma soma, na página de potências.
Atalhos: quando falta um termo
A fórmula quadrática sempre funciona, mas quando b ou c é zero há caminhos mais curtos.
Sem o termo em x (b = 0)
Isole o x² e tire a raiz, sem esquecer o ±:
Se o número do outro lado for negativo (como em x² = −4), não há raiz real.
Sem o termo independente (c = 0)
Coloque o x em evidência. Um produto só dá zero se um dos fatores for zero:
Com c = 0, uma das raízes é sempre 0. E nunca se divide os dois lados por x: isso faria a raiz 0 desaparecer.
Forma fatorada
Sabendo as raízes, a expressão se reescreve como produto — o caminho inverso do atalho acima:
Soma e produto das raízes
Abrindo a forma fatorada, a(x − x₁)(x − x₂) = ax² − a(x₁ + x₂)x + ax₁x₂. Comparando com ax² + bx + c, saem duas relações. Os controles abaixo são os mesmos do gráfico.
Produto
vale
Raízes de cabeça. Com a = 1, procure dois números com soma −b e produto c. Em x² − 5x + 6 = 0: soma 5 e produto 6 → 2 e 3. Quando as raízes são inteiras, isso costuma ser mais rápido que a fórmula.
Exemplo resolvido
Um terreno retangular tem 16 m de perímetro e 15 m² de área. Quais são as medidas dos lados?
Se um lado mede x, o outro mede 8 − x (metade do perímetro menos x). A área dá a equação:
Soma 8 e produto 15: as raízes são 3 e 5. As duas servem — são os dois lados do mesmo terreno, de 3 m por 5 m. Veja no gráfico.
Teste você mesmo
1. Resolva x² − 5x + 6 = 0.
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Δ = 25 − 24 = 1, então x = (5 ± 1)/2: x = 2 ou x = 3. (Ou por soma e produto: soma 5, produto 6.)
2. Resolva x² − 9 = 0 sem usar a fórmula quadrática.
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x² = 9, então x = 3 ou x = −3.
3. Resolva 2x² + 6x = 0.
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2x(x + 3) = 0, então x = 0 ou x = −3.
4. Quantas raízes reais tem x² + 2x + 5 = 0?
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Δ = 4 − 20 = −16 < 0: nenhuma. A parábola abre para cima e o vértice, em (−1; 4), fica acima do eixo x.
5. Resolva x² − 6x + 9 = 0.
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Δ = 36 − 36 = 0: raiz dupla x = 3. De fato, x² − 6x + 9 = (x − 3)².
6. Escreva uma equação do 2º grau cujas raízes sejam 3 e 4.
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Soma 7 e produto 12: x² − 7x + 12 = 0. Pela forma fatorada, (x − 3)(x − 4) = 0 dá o mesmo.
7. Para que valores de k a equação x² + kx + 9 = 0 tem uma única raiz?
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Raiz única quer dizer Δ = 0: k² − 36 = 0, então k = 6 ou k = −6. As equações são (x + 3)² = 0 e (x − 3)² = 0.