Potências — Regras de Potenciação

Potência é multiplicação repetida: aⁿ é o a multiplicado por ele mesmo n vezes. A partir dessa ideia simples saem todas as regras — inclusive as que parecem estranhas, como a⁰ = 1 e o expoente negativo que vira fração.

O que é uma potência

A escada das potências

    Regras

    Cada regra vem com controles. Arraste os valores, inclusive para expoentes negativos e zero, e veja os dois lados darem o mesmo número. Os valores são os mesmos na página inteira.

    Produto de mesma base

    vale

    Multiplicar potências de mesma base é juntar os fatores: 2³ · 2² = (2·2·2) · (2·2) = 2⁵. Os expoentes se somam.

    Quociente de mesma base

    vale

    Dividir é cancelar fatores de cima com fatores de baixo: os expoentes se subtraem. Se embaixo houver mais, o expoente fica negativo — e é daí que vem o expoente negativo.

    Expoente zero

    vale

    Não é uma convenção arbitrária: é o único valor que não quebra a regra do quociente.

    Expoente negativo

    vale

    O sinal de menos no expoente quer dizer “inverso”: 2⁻³ = 1/2³ = 1/8. O resultado continua positivo.

    Potência de potência

    vale

    (2³)² é 2³ repetido duas vezes: 2³ · 2³ = 2⁶. Os expoentes se multiplicam.

    Potência de um produto

    vale

    O expoente se distribui sobre a multiplicação: (2 · 3)² = 2·3·2·3 = 2² · 3².

    Potência de uma fração

    vale

    Eleva-se o numerador e o denominador. Com expoente negativo, inverte-se a fração antes: (3/4)⁻² = (4/3)² = 16/9.

    E expoente fracionário é raiz: a1/n = ⁿ√a e am/n = ⁿ√(am). Isso está na página de raízes.

    Base negativa: o expoente decide o sinal

    Menos vezes menos dá mais. Numa potência de base negativa, os sinais se cancelam aos pares: expoente par dá positivo, ímpar dá negativo.

    Par ou ímpar

    depende

    O lado direito é a previsão pela regra; o esquerdo, a conta feita fator por fator.

    O erro clássico: −a² não é (−a)²

    cuidado

    O expoente só pega o que está imediatamente à esquerda dele. Sem parênteses, o sinal de menos fica de fora: −3² = −9. Com parênteses, entra: (−3)² = 9. Calculadoras e linguagens de programação seguem essa regra.

    Armadilhas: o que não vale

    Assim como a raiz, a potência se distribui sobre multiplicação e divisão, mas não sobre soma. E cada regra dos expoentes vale para uma operação só — trocar uma pela outra é o erro mais comum.

    Potência de uma soma

    não vale

    Deixe p = 2 para ver o quadrado de lado a + b: além de a² e b², há dois retângulos a·b que a fórmula errada esquece.

    Soma de potências

    não vale

    Multiplicar expoentes no produto

    não vale

    Casos especiais: bases 0, 1 e −1

    Multiplicar zero por ele mesmo dá sempre zero.

    Seria 1/0ⁿ = 1/0: divisão por zero.

    Indeterminado: a regra a⁰ = 1 pede 1, a regra 0ⁿ = 0 pede 0. Em contagem e polinômios costuma-se usar 1; em limites, depende do caso.

    Para qualquer n, inclusive negativo: 1 não cresce nem diminui. É um juro de 0%.

    Alterna: +1 com n par, −1 com n ímpar. Útil para escrever sinais que se alternam, como +, −, +, −…

    Notação científica

    Números muito grandes ou muito pequenos se escrevem como um número entre 1 e 10 vezes uma potência de 10: a distância da Terra ao Sol é 1,496 × 10¹¹ m, e o diâmetro de uma bactéria, cerca de 2 × 10⁻⁶ m.

    Exemplos:

    Passo a passo

      Exemplo resolvido

      Num sistema de armazenamento, a cada nível a capacidade dobra e o preço por unidade cai pela metade. O nível 1 tem 1 unidade a R$ 1.024. Quanto custam os 5 primeiros níveis?

      No nível n, a capacidade e o preço são:

      O custo do nível é o produto dos dois. Pela regra do produto de mesma base, os expoentes se somam e se anulam:

      Todo nível custa R$ 1.024, qualquer que seja n. Nos 5 níveis: 5 × 1.024 = R$ 5.120. Sem as regras, seria preciso calcular 1 × 1024, 2 × 512, 4 × 256… para só então perceber o padrão.

      Teste você mesmo

      1. Calcule 2³ · 2⁴.

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      Mesma base: somam-se os expoentes. 2³ · 2⁴ = 2⁷ = 128.

      2. Quanto vale (−2)⁴? E −2⁴?

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      (−2)⁴ = (−2)·(−2)·(−2)·(−2) = 16: expoente par, resultado positivo.

      −2⁴ = −(2⁴) = −16: sem parênteses, o sinal fica fora da potência.

      3. Escreva 5⁻² como fração e como decimal.

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      5⁻² = 1/5² = 1/25 = 0,04.

      4. Simplifique (3²)³ e calcule.

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      Potência de potência: multiplicam-se os expoentes. (3²)³ = 3⁶ = 729.

      5. Quanto vale (2/3)⁻²?

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      Inverte-se a fração e o expoente fica positivo: (3/2)² = 9/4 = 2,25.

      6. Explique, sem decorar, por que 7⁰ = 1.

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      7³ ÷ 7³ = 1, porque todo número dividido por ele mesmo dá 1. Pela regra do quociente, 7³ ÷ 7³ = 7³⁻³ = 7⁰. As duas contas são a mesma divisão, então 7⁰ = 1.

      7. Escreva 0,00052 em notação científica.

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      A vírgula anda 4 casas para a direita até 5,2, então o expoente é −4: 5,2 × 10⁻⁴.