Raízes — Regras de Radiciação

A raiz de um produto é o produto das raízes. É a regra que permite quebrar um número difícil em pedaços fáceis: √36 = √4 · √9 = 2 · 3. Vale para a ≥ 0 e b ≥ 0.

O mesmo vale para a divisão: √(9/4) = 3/2. Precisa de a ≥ 0 e b > 0 — não dá para dividir por zero.

Um fator que está ao quadrado dentro da raiz sai dela sem o quadrado. É a regra do produto aplicada: √(k²a) = √k² · √a = k√a, para k ≥ 0. É assim que se simplifica √12 = √(2² · 3) = 2√3.

E não simplesmente x. A raiz quadrada é sempre positiva (ou zero), mas x pode ser negativo: (−3)² = 9, e √9 = 3. O módulo |x| tira o sinal.

Na ordem contrária não há surpresa: primeiro a raiz, depois o quadrado, e volta-se ao ponto de partida. Aqui a ≥ 0 é exigido logo de saída, porque √a precisa existir.

Por que 1/n? Porque (a^1/n)ⁿ = a^n/n = a¹ = a — exatamente o que a raiz tem que fazer.

O expoente de dentro vai para o numerador, o índice para o denominador. Lida ao contrário, é a definição de expoente fracionário: 8^2/3 = ∛(8²) = ∛64 = 4.

As regras da raiz quadrada valem para qualquer índice, desde que seja o mesmo dos dois lados.

Os índices se multiplicam: (a^1/2)^1/2 = a^1/4. Em geral, .

É a generalização de √x² = |x|. Com índice ímpar a raiz de negativo existe (∛−8 = −2) e o sinal volta; com índice par, a potência apaga o sinal e ele não volta. Teste com x negativo e troque n entre par e ímpar.

A hipotenusa de um triângulo retângulo é √(a² + b²). Se a raiz “cortasse” os quadrados, ela seria a + b — o caminho pelos dois catetos, que é mais longo. Com a = 3 e b = 4, a hipotenusa é 5, não 7.