Logaritmo do produto
valeFoi por esta regra que os logaritmos foram inventados, por Napier, em 1614: trocar multiplicações difíceis por somas fáceis, consultando uma tabela. Até a década de 1970, era o que faziam as réguas de cálculo.
Logaritmos — O Expoente que Falta
A potência responde “quanto dá 2 elevado a 3?”. O logaritmo faz a pergunta ao contrário: “2 elevado a quanto dá 8?”. A resposta, 3, é o logaritmo de 8 na base 2. Logaritmo é um expoente — e todas as regras saem daí.
A pergunta do logaritmo
As potências da base
Escala logarítmica
Numa escala logarítmica, cada passo do mesmo tamanho multiplica em vez de somar. É como se mede o que varia por ordens de grandeza: terremotos (Richter), som (decibéis), acidez (pH) — e muitos gráficos de dados, como PIB, preços ou casos de uma epidemia.
Regras
Como logaritmo é expoente, cada regra é uma regra de potência lida ao contrário: o produto vira soma, o quociente vira diferença, a potência vira multiplicação. Os controles abaixo (base b, números x e y, expoente k) valem para todos os cards.
Logaritmo do quociente
valeLogaritmo da potência
valeMudança de base
valeLogaritmo e potência se desfazem
valeArmadilhas: o que não vale
Logaritmo da soma
não valeDividir logaritmos
não valeCasos especiais e notação
Porque b⁰ = 1 em qualquer base.
Porque b¹ = b.
Não existem: nenhuma potência de base positiva dá zero ou negativo. O domínio do logaritmo são os números positivos.
Sem base escrita, costuma ser base 10 — conta quantos algarismos tem o número (menos um).
O logaritmo natural, na base e ≈ 2,718. É o padrão em cálculo e estatística.
Em computação: quantos bits são precisos, ou quantas vezes dá para dividir ao meio.
E a base? Precisa ser positiva e diferente de 1: 1 elevado a qualquer coisa dá 1, então log₁ 5 não teria resposta.
Em quanto tempo dobra?
Quando a incógnita está no expoente — “em quantos anos o investimento dobra?”, “quando a população chega a um milhão?” —, só o logaritmo a tira de lá.
Exemplos:
Passo a passo
Logaritmos na estatística
Dados assimétricos. Renda, preços e tempos costumam ter uma cauda longa à direita: muitos valores pequenos e alguns enormes. Tirar o logaritmo traz a cauda para perto, e os dados ficam mais simétricos — mais próximos da normal que muitos métodos supõem.
Produtos viram somas. A probabilidade de várias observações independentes é um produto de muitos números pequenos, que no computador logo vira zero. O logaritmo transforma o produto numa soma bem-comportada: é a log-verossimilhança, base de boa parte da estatística moderna.
Variações relativas. Num gráfico em escala log, crescer 10% é sempre a mesma distância, valha a grandeza 100 ou 1 milhão. Por isso séries que crescem em ritmo constante viram retas.
Teste você mesmo
1. Calcule log₂ 32 e log₃ 81.
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2⁵ = 32, então log₂ 32 = 5. 3⁴ = 81, então log₃ 81 = 4.
2. Quanto vale log₁₀ 0,001?
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0,001 = 1/1000 = 10⁻³, então o logaritmo é −3. Logaritmo negativo quer dizer número entre 0 e 1.
3. Sem calculadora: log 2 + log 5.
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Pela regra do produto, log 2 + log 5 = log (2 · 5) = log 10 = 1.
4. Resolva 2ˣ = 50.
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Tirando o logaritmo dos dois lados: x · log 2 = log 50, então x = log 50 / log 2 ≈ 1,699 / 0,301 ≈ 5,64. Confere: 50 está entre 2⁵ = 32 e 2⁶ = 64.
5. Um investimento rende 6% ao ano. Em quantos anos dobra?
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t = ln 2 / ln 1,06 ≈ 0,6931 / 0,0583 ≈ 11,9 anos — dobra no fim do 12º ano. A regra do 72 dá 72 ÷ 6 = 12.
6. Quantos algarismos tem 2¹⁰⁰?
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log 2¹⁰⁰ = 100 · log 2 ≈ 100 × 0,30103 = 30,103. Um número com log entre 30 e 31 está entre 10³⁰ e 10³¹, então tem 31 algarismos.