Produtos Notáveis e Fatoração
Alguns produtos aparecem tanto que ganharam nome e fórmula pronta: o quadrado da soma, o quadrado da diferença e o produto da soma pela diferença. Vistos como áreas, eles deixam de ser fórmulas para decorar.
Cada fórmula é uma área
As fórmulas, com os seus números
Todas saem da propriedade distributiva — multiplicar cada termo de um parêntese por cada termo do outro. Arraste a e b: os valores são os mesmos em todos os cards.
Quadrado da diferença
valeProduto da soma pela diferença
valeCubo da soma
valeA versão em três dimensões: um cubo de aresta a + b cortado em oito blocos. A partir daqui, o binômio de Newton dá qualquer potência.
O erro mais comum
não valeContas de cabeça
Com as fórmulas, contas que parecem difíceis viram contas com números redondos. Arraste a dezena t e a unidade u.
Quadrado de um número de dois algarismos
valeVizinhos de um número redondo
valePor exemplo, 49 × 51 = 50² − 1² = 2499.
O caminho de volta: fatoração
Fatorar é ler as fórmulas da direita para a esquerda: transformar uma soma num produto. Isso simplifica frações e resolve equações, porque um produto só dá zero se um dos fatores der zero.
Fator comum: o que aparece em todos os termos sai para fora do parêntese.
Diferença de quadrados: dois quadrados separados por menos.
Trinômio quadrado perfeito: o termo do meio é 2 × 3 × x, então é um quadrado da soma.
Soma e produto: dois números que somam 5 e multiplicam 6. Daí as raízes da equação do 2º grau saem sem fórmula.
Onde os produtos notáveis aparecem na estatística
O atalho da variância, que calcula a soma dos quadrados dos desvios sem calcular desvio nenhum, é o quadrado da diferença aplicado a cada termo de um somatório:
No último passo, Σxᵢ = n x̄, e −2n x̄² + n x̄² = −n x̄². A mesma ideia mostra que a variância é “a média dos quadrados menos o quadrado da média”.
Teste você mesmo
1. Desenvolva (x + 4)².
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x² + 2 · x · 4 + 4² = x² + 8x + 16.
2. Desenvolva (2x − 3)².
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(2x)² − 2 · 2x · 3 + 3² = 4x² − 12x + 9. Cuidado: o quadrado de 2x é 4x², não 2x².
3. Calcule de cabeça 31² e 39 × 41.
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31² = 900 + 60 + 1 = 961. 39 × 41 = 40² − 1 = 1599.
4. Fatore x² − 25 e 4x² + 4x + 1.
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x² − 25 = (x + 5)(x − 5). 4x² + 4x + 1 = (2x)² + 2 · 2x · 1 + 1² = (2x + 1)².
5. Simplifique (x² − 9)/(x + 3), para x ≠ −3.
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(x + 3)(x − 3)/(x + 3) = x − 3.