Pergunta
Por que $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$? Como visualizar essa identidade de forma geométrica e intuitiva?
A ideia geométrica
Imagine um quadrado de lado $(a + b)$. Sua área total é $(a+b)^2$.
Agora divida esse quadrado em quatro partes usando uma linha horizontal e uma vertical:
- Um quadrado de lado $a$ → área $a^2$
- Um quadrado de lado $b$ → área $b^2$
- Dois retângulos de lados $a$ e $b$ → cada um com área $ab$
Somando: $a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Isso é exatamente $(a+b)^2$. $\checkmark$
Gadget interativo
Ajuste os sliders abaixo e veja a identidade acontecer em tempo real:
Prova algébrica
Expandindo diretamente com distributividade:
\[(a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a\cdot a + a\cdot b + b\cdot a + b\cdot b = a^2 + 2ab + b^2.\]Casos de uso no Cálculo
A identidade aparece com frequência ao completar quadrados, fatorar e desenvolver binômios:
| Situação | Aplicação |
|---|---|
| Completar quadrado | $x^2 + 6x = (x+3)^2 - 9$ |
| Fatoração | $x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$ |
| Limites notáveis | $\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^2 - x^2}{h} = 2x$ |
| Integrais | $\int (x+1)^2\,dx = \frac{(x+1)^3}{3} + C$ |
Exercício resolvido
Questão
Sabendo que $a + b = 1$ e $a^2 + b^2 = 2$, calcule $a^3 + b^3$.
1. Primeiro objetivo: descobrir $ab$
Para achar $a^3 + b^3$, vamos precisar saber o valor de $ab$.
A identidade que usamos é o quadrado da soma. Vamos demonstrá-la sem pular etapas:
\[(a+b)^2 = (a+b)(a+b).\]Aplicamos a distributiva:
\[(a+b)(a+b) = a(a+b) + b(a+b).\]Distribuindo cada parcela:
\[a(a+b) = a^2 + ab,\] \[b(a+b) = ba + b^2.\]Somando tudo:
\[(a+b)(a+b) = a^2 + ab + ba + b^2.\]Como $ab = ba$, temos $ab + ba = ab + ab = 2ab$. Logo:
\[(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.\]Podemos escrever também assim:
\[(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab.\]Agora substituímos as informações do problema. Sabemos que $a + b = 1$, então:
\[(a+b)^2 = 1^2.\]Calculando $1^2$:
\[1^2 = 1 \cdot 1 = 1.\]E sabemos que $a^2 + b^2 = 2$. Substituindo na identidade:
\[1 = 2 + 2ab.\]Subtraímos $2$ dos dois lados:
\[1 - 2 = 2 + 2ab - 2.\]No lado direito, $2 - 2 = 0$, então:
\[-1 = 2ab.\]Dividimos os dois lados por $2$:
\[\frac{-1}{2} = \frac{2ab}{2}.\]Como $\dfrac{2ab}{2} = ab$, temos:
\[ab = -\frac{1}{2}.\]2. Agora queremos $a^3 + b^3$
Vamos usar a identidade:
\[a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b).\]Mas vamos mostrar de onde ela vem, partindo do zero.
Começamos com $(a+b)^3$, que significa:
\[(a+b)^3 = (a+b)(a+b)(a+b).\]Já demonstramos que $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Então:
\[(a+b)^3 = (a+b)\cdot(a^2 + 2ab + b^2).\]Aplicamos a distributiva:
\[(a+b)(a^2 + 2ab + b^2) = a(a^2 + 2ab + b^2) + b(a^2 + 2ab + b^2).\]Calculando a primeira parte:
\[a(a^2 + 2ab + b^2) = a \cdot a^2 + a \cdot 2ab + a \cdot b^2 = a^3 + 2a^2b + ab^2.\]Calculando a segunda parte:
\[b(a^2 + 2ab + b^2) = b \cdot a^2 + b \cdot 2ab + b \cdot b^2 = a^2b + 2ab^2 + b^3.\]Somando tudo:
\[(a+b)^3 = a^3 + 2a^2b + ab^2 + a^2b + 2ab^2 + b^3.\]Agrupando os termos semelhantes:
\[(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 2a^2b + a^2b + ab^2 + 2ab^2.\]Somando os termos do meio:
\[2a^2b + a^2b = 3a^2b, \qquad ab^2 + 2ab^2 = 3ab^2.\]Então:
\[(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3a^2b + 3ab^2.\]Nos dois últimos termos, colocamos $3ab$ em evidência:
\[3a^2b + 3ab^2 = 3ab(a + b).\]Portanto:
\[(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b).\]Para deixar $a^3 + b^3$ sozinho, subtraímos $3ab(a+b)$ dos dois lados:
\[(a+b)^3 - 3ab(a+b) = a^3 + b^3 + 3ab(a+b) - 3ab(a+b).\]Como $3ab(a+b) - 3ab(a+b) = 0$, fica:
\[a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b).\]3. Substituindo os valores
Já temos $a + b = 1$ e $ab = -\dfrac{1}{2}$. Substituindo na fórmula:
\[a^3 + b^3 = (1)^3 - 3\!\left(-\frac{1}{2}\right)(1).\]Calculamos $(1)^3$:
\[1^3 = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1.\]Calculamos $-3!\left(-\dfrac{1}{2}\right)$. Negativo vezes negativo dá positivo:
\[-3 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{3}{2}.\]Multiplicando por $(1)$:
\[\frac{3}{2} \cdot 1 = \frac{3}{2}.\]Então:
\[a^3 + b^3 = 1 + \frac{3}{2}.\]Escrevendo $1$ como fração de denominador $2$:
\[1 = \frac{2}{2}.\]Somando as frações:
\[a^3 + b^3 = \frac{2}{2} + \frac{3}{2} = \frac{2 + 3}{2} = \boxed{\dfrac{5}{2}}.\]4. Conferindo pela ideia de Girard
As relações de Girard (também chamadas de relações de Viète) estabelecem que, para um polinômio mônico de grau 2 com raízes $a$ e $b$:
\[\boxed{a + b = -\frac{p}{1} = s_1, \qquad ab = \frac{q}{1} = s_2}\]De forma geral, para o polinômio $x^2 + px + q = 0$ com raízes $a$ e $b$:
\[\begin{aligned} a + b &= -p \quad \text{(soma das raízes)},\\ a \cdot b &= q \quad \text{(produto das raízes)}. \end{aligned}\]Isso significa que, conhecendo apenas a soma e o produto das raízes, conseguimos reconstruir o polinômio — e calcular potências como $a^3 + b^3$ — sem precisar encontrar $a$ e $b$ individualmente.
Como $a$ e $b$ são duas raízes, podemos montar um polinômio de grau 2. Se $a$ e $b$ são raízes de um polinômio mônico, ele tem a forma:
\[x^2 - (a+b)x + ab = 0.\]Substituindo $a + b = 1$ e $ab = -\dfrac{1}{2}$:
\[x^2 - x - \frac{1}{2} = 0.\]Então $a$ e $b$ satisfazem essa equação. Isolando $x^2$:
\[x^2 = x + \frac{1}{2}.\]Multiplicamos os dois lados por $x$:
\[x \cdot x^2 = x\!\left(x + \frac{1}{2}\right),\] \[x^3 = x^2 + \frac{x}{2}.\]Como isso vale para $a$:
\[a^3 = a^2 + \frac{a}{2}.\]E vale para $b$:
\[b^3 = b^2 + \frac{b}{2}.\]Somando as duas equações:
\[a^3 + b^3 = a^2 + b^2 + \frac{a}{2} + \frac{b}{2}.\]Colocando a fração em evidência:
\[a^3 + b^3 = a^2 + b^2 + \frac{a + b}{2}.\]Substituindo $a^2 + b^2 = 2$ e $a + b = 1$:
\[a^3 + b^3 = 2 + \frac{1}{2} = \frac{4}{2} + \frac{1}{2} = \boxed{\dfrac{5}{2}}.\]A resposta se confirma pelos dois métodos.
Produtos notáveis, fatoração e as relações de Girard: a conexão
Os três tópicos formam um ciclo: produtos notáveis expandem, fatoração reverte essa expansão, e as relações de Girard explicam por quê a reversão funciona.
Produtos notáveis: da forma fatorada para a expandida
Um produto notável é uma multiplicação cujo resultado segue um padrão fixo — útil para expandir rapidamente sem distribuir termo a termo:
\[\begin{aligned} (a+b)^2 &= a^2 + 2ab + b^2,\\ (a-b)^2 &= a^2 - 2ab + b^2,\\ (a+b)(a-b) &= a^2 - b^2. \end{aligned}\]Em todos os casos, o ponto de partida é a forma fatorada $(a+b)$, $(a-b)$… e o resultado é a forma expandida (polinômio).
Fatoração: o caminho inverso
Fatorar é o processo oposto — dado um polinômio expandido, encontrar as expressões cujo produto o gera:
\[x^2 - 5x + 6 \;\longrightarrow\; (x-2)(x-3).\]Para quadráticas, a questão se resume a: “quais dois números têm soma $5$ e produto $6$?” — e a resposta é $2$ e $3$.
Relações de Girard: a ponte entre os dois
Aqui entra Girard. Para o polinômio $x^2 + px + q$, as relações garantem:
\[\text{soma das raízes} = -p, \qquad \text{produto das raízes} = q.\]Isso significa que os coeficientes do polinômio são, literalmente, a soma e o produto das raízes. Fatorar $x^2 + px + q$ é, portanto, resolver o sistema:
\[r_1 + r_2 = -p \quad \text{e} \quad r_1 \cdot r_2 = q,\]e escrever $(x - r_1)(x - r_2)$ — que, ao ser expandido com o produto notável do quadrado da soma, volta ao polinômio original.
- Produto notável expande $(x - r_1)(x - r_2)$ → obtém $x^2 - (r_1+r_2)x + r_1 r_2$.
- Relações de Girard identificam que $-p = r_1 + r_2$ e $q = r_1 r_2$.
- Fatoração lê esses coeficientes e reconstrói $(x - r_1)(x - r_2)$.
No exercício resolvido acima, usamos exatamente esse ciclo ao contrário: partimos dos valores $a + b = 1$ e $ab = -\tfrac{1}{2}$ (as “relações de Girard” do nosso par) para montar o polinômio $x^2 - x - \tfrac{1}{2} = 0$ — e então manipulá-lo para obter $a^3 + b^3$.
Exemplos resolvidos passo a passo
Produtos notáveis
Exemplo 1 — Quadrado da soma: $(x + 3)^2$
Aplicamos a identidade $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ com $a = x$ e $b = 3$:
\[(x + 3)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9.\]Exemplo 2 — Quadrado da diferença: $(2x - 5)^2$
Identidade: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ com $a = 2x$ e $b = 5$:
\[(2x - 5)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 5 + 5^2 = 4x^2 - 20x + 25.\]Exemplo 3 — Produto da soma pela diferença: $(x + 7)(x - 7)$
Identidade: $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ com $a = x$ e $b = 7$:
\[(x + 7)(x - 7) = x^2 - 7^2 = x^2 - 49.\]Exemplo 4 — Cubo da soma: $(x + 2)^3$
Expandimos com a identidade $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$, sendo $a = x$ e $b = 2$:
\[(x + 2)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8.\]Exemplo 5 — Expressão composta: $(3x + 1)^2 - (3x - 1)^2$
Expandimos cada quadrado separadamente:
\[(3x + 1)^2 = 9x^2 + 6x + 1,\] \[(3x - 1)^2 = 9x^2 - 6x + 1.\]Subtraindo:
\[(3x + 1)^2 - (3x - 1)^2 = (9x^2 + 6x + 1) - (9x^2 - 6x + 1)\] \[= 9x^2 + 6x + 1 - 9x^2 + 6x - 1\] \[= 12x.\]Fatoração algébrica
Exemplo 6 — Fator comum: $6x^2 + 9x$
Identificamos o maior fator comum entre os termos. $6x^2 = 3x \cdot 2x$ e $9x = 3x \cdot 3$, então o MDC é $3x$:
\[6x^2 + 9x = 3x \cdot 2x + 3x \cdot 3 = 3x(2x + 3).\]Verificação: $3x \cdot 2x + 3x \cdot 3 = 6x^2 + 9x$. ✓
Exemplo 7 — Trinômio quadrado perfeito: $x^2 + 10x + 25$
Reconhecemos o padrão $a^2 + 2ab + b^2$ com $a = x$ e $b = 5$ (pois $2ab = 2 \cdot x \cdot 5 = 10x$ e $b^2 = 25$):
\[x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2.\]Exemplo 8 — Diferença de quadrados: $4x^2 - 49$
Reconhecemos $a^2 - b^2$ com $a = 2x$ (pois $(2x)^2 = 4x^2$) e $b = 7$ (pois $7^2 = 49$):
\[4x^2 - 49 = (2x + 7)(2x - 7).\]Exemplo 9 — Trinômio geral: $x^2 - 7x + 12$
Procuramos dois números $r_1$ e $r_2$ tais que (relações de Girard):
\[r_1 + r_2 = 7 \quad \text{e} \quad r_1 \cdot r_2 = 12.\]Testamos pares de fatores de $12$:
| Par $(r_1, r_2)$ | Soma | Produto |
|---|---|---|
| $1$ e $12$ | $13$ | $12$ |
| $2$ e $6$ | $8$ | $12$ |
| $3$ e $4$ | $7$ ✓ | $12$ ✓ |
Logo $r_1 = 3$ e $r_2 = 4$, portanto:
\[x^2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4).\]Verificação: $(x-3)(x-4) = x^2 - 4x - 3x + 12 = x^2 - 7x + 12$. ✓
Exemplo 10 — Trinômio com coeficiente $a \neq 1$: $2x^2 + 7x + 3$
Como o coeficiente de $x^2$ é $2$, usamos o método do produto $a \cdot c$:
\[a \cdot c = 2 \cdot 3 = 6.\]Precisamos de dois números com soma $7$ (coeficiente de $x$) e produto $6$: são $1$ e $6$.
Reescrevemos o termo do meio:
\[2x^2 + 7x + 3 = 2x^2 + 1x + 6x + 3.\]Agrupamos em dois pares e fatoramos cada um:
\[= x(2x + 1) + 3(2x + 1).\]O fator $(2x + 1)$ aparece em ambos — colocamos em evidência:
\[= (2x + 1)(x + 3).\]Verificação: $(2x+1)(x+3) = 2x^2 + 6x + x + 3 = 2x^2 + 7x + 3$. ✓
Exemplo 11 — Soma de cubos: $x^3 + 8$
Identidade: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ com $a = x$ e $b = 2$ (pois $2^3 = 8$):
\[x^3 + 8 = x^3 + 2^3 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4).\]Verificação pela distribuição:
\[(x + 2)(x^2 - 2x + 4) = x^3 - 2x^2 + 4x + 2x^2 - 4x + 8 = x^3 + 8. \checkmark\]Exemplo 12 — Fatoração completa: $3x^3 - 12x$
Passo 1: fator comum.
\[3x^3 - 12x = 3x(x^2 - 4).\]Passo 2: $x^2 - 4$ é diferença de quadrados ($a = x$, $b = 2$):
\[x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2).\]Resultado final:
\[3x^3 - 12x = 3x(x + 2)(x - 2).\]Atenção: erro mais comum
\[(a + b)^2 \neq a^2 + b^2\]O termo $2ab$ é sempre necessário. Geometricamente: esquecer os dois retângulos do meio.
- $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ — sempre inclua o $2ab$.
- Geometricamente: o quadrado de lado $(a+b)$ contém quatro regiões.
- A identidade análoga: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
- Produto notável complementar: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.
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