Este material desenvolve todo esse fluxo com rigor matemático e exemplos concretos. O problema-guia é o controle de qualidade do peso de embalagens de um produto industrial.
1. Definição do Problema Estatístico
1.1 Pergunta de interesse
Uma empresa produz embalagens de um produto que, segundo especificação, devem conter 500 g em média. O engenheiro de qualidade deseja verificar se a máquina de envase está calibrada corretamente.
Pergunta estatística: A média do peso das embalagens produzidas pela máquina é de 500 g?
1.2 Parâmetro populacional
O parâmetro de interesse é a média populacional $\mu$:
\[\mu = \mathbb{E}[X]\]onde $X$ representa o peso (em gramas) de uma embalagem selecionada aleatoriamente.
1.3 Contexto e hipóteses de trabalho
- O processo de envase produz pesos que flutuam em torno de um valor central.
- Histórico de produção indica desvio padrão do processo $\sigma = 5$ g (valor conhecido de longo prazo).
- Coletou-se uma amostra aleatória simples de $n = 10$ embalagens.
- Objetivo: decidir se a máquina deve ser recalibrada.
2. Identificação da Distribuição dos Dados
2.1 Natureza dos dados
Os pesos são variáveis contínuas (medidas em gramas com alta precisão), resultantes de um processo físico que envolve a soma de muitas fontes de variação independentes: vibração da máquina, densidade do produto, temperatura ambiente, etc.
2.2 Justificativa para a distribuição Normal
Pelo Teorema Central do Limite e pela natureza do processo industrial:
- O peso de cada embalagem é resultado da composição de múltiplos fatores independentes de pequena magnitude — a distribuição tende à normalidade.
- Processos industriais bem controlados tipicamente exibem variabilidade simétrica em torno do valor nominal.
- A hipótese de normalidade pode ser verificada empiricamente com testes (Shapiro–Wilk, gráfico Q-Q) em amostras maiores.
Formalmente adotamos: $X_i \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ com $\sigma^2 = 25$.
2.3 Modelos de referência
| Tipo de dado | Distribuição indicada | Parâmetro estimado |
|---|---|---|
| Binário (sucesso/falha) | Bernoulli / Binomial | Proporção $p$ |
| Contagens (eventos raros) | Poisson | Taxa $\lambda$ |
| Medidas contínuas simétricas | Normal | Média $\mu$ |
| Tempo até evento (falha, chegada) | Exponencial / Weibull | Taxa $\lambda$ |
Escolha adotada: $X_1, X_2, \ldots, X_n \overset{\text{iid}}{\sim} \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$, com $\sigma^2 = 25$ conhecido.
3. Construção da Função de Verossimilhança
3.1 Definição
A função de verossimilhança $L(\mu \mid \mathbf{x})$ mede o quão plausível é o valor do parâmetro $\mu$, dado que os dados observados foram $\mathbf{x} = (x_1, \ldots, x_n)$:
\[L(\mu \mid \mathbf{x}) = \prod_{i=1}^{n} f(x_i;\, \mu)\]Importante: a verossimilhança é uma função de $\mu$, com os dados $\mathbf{x}$ fixados — o oposto da função de densidade, que é função dos dados.
3.2 Construção explícita para a Normal
A densidade de cada observação $X_i \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ é:
\[f(x_i;\, \mu) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\!\left(-\frac{(x_i - \mu)^2}{2\sigma^2}\right)\]Como as observações são independentes, a verossimilhança conjunta é o produto das densidades individuais:
\[L(\mu \mid \mathbf{x}) = \prod_{i=1}^{n} f(x_i;\,\mu) = f(x_1;\mu) \cdot f(x_2;\mu) \cdots f(x_n;\mu)\]Passo 1 — Escrever o produto explicitamente:
\[L(\mu \mid \mathbf{x}) = \prod_{i=1}^{n} \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\!\left(-\frac{(x_i - \mu)^2}{2\sigma^2}\right)\]Passo 2 — Separar a constante do exponencial (cada fator tem a mesma constante $\tfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}$, que aparece $n$ vezes):
\[= \underbrace{\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \cdot \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \cdots \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}}_{n \text{ vezes}} \cdot \exp\!\left(-\frac{(x_1-\mu)^2}{2\sigma^2}\right) \cdot \exp\!\left(-\frac{(x_2-\mu)^2}{2\sigma^2}\right) \cdots \exp\!\left(-\frac{(x_n-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)\]Passo 3 — Compactar usando notação de produto (usando $a^m \cdot a^m \cdots = a^{mn}$ e $e^a \cdot e^b = e^{a+b}$):
\[= \left(\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\right)^{\!n} \exp\!\left(-\frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \mu)^2\right)\]Por que combinar os exponenciais em uma soma? A regra $e^a \cdot e^b = e^{a+b}$ transforma um produto de $n$ exponenciais em um único exponencial com o expoente igual à soma. Isso é fundamental: transforma um produto intratável em uma soma, que é algebricamente manipulável.
3.3 Log-verossimilhança
Para fins de otimização (maximização), trabalha-se com a log-verossimilhança $\ell(\mu)$, que tem o mesmo ponto de máximo que $L(\mu)$, mas é algebricamente mais tratável.
Por que aplicar logaritmo? $\ln$ é uma função estritamente crescente, portanto não altera o ponto de máximo: $\arg\max L(\mu) = \arg\max \ln L(\mu)$. A vantagem é transformar o produto em soma (via $\ln(a \cdot b) = \ln a + \ln b$) e eliminar a exponencial (via $\ln(e^x) = x$).
Passo 1 — Aplicar $\ln$ ao produto:
\[\ell(\mu \mid \mathbf{x}) = \ln\!\left[\left(\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\right)^{\!n}\!\exp\!\left(-\frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^2\right)\right]\]Passo 2 — Separar os fatores usando $\ln(A \cdot B) = \ln A + \ln B$:
\[= \ln\!\left(\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\right)^{\!n} + \ln\!\left[\exp\!\left(-\frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^2\right)\right]\]Passo 3 — Simplificar cada parcela (usando $\ln(a^n) = n\ln a$ e $\ln(e^x) = x$):
\[= n\ln\!\left(\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\right) - \frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^2\] \[= -n\ln(\sigma\sqrt{2\pi}) - \frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^2\]O primeiro termo, $-n\ln(\sigma\sqrt{2\pi})$, é uma constante em relação a $\mu$ — não influencia a maximização e será descartado na derivação.
Passo 4 — Expandir $(x_i - \mu)^2$ usando a identidade do quadrado do binômio $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, com $a = x_i$ e $b = \mu$:
\[(x_i - \mu)^2 = x_i^2 - 2\mu x_i + \mu^2\]Passo 5 — Distribuir o somatório (a soma de parcelas é a parcela das somas):
\[\sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2 = \sum_{i=1}^n x_i^2 \;-\; 2\mu\sum_{i=1}^n x_i \;+\; \sum_{i=1}^n \mu^2\]O terceiro termo: $\displaystyle\sum_{i=1}^n \mu^2 = n\mu^2$, pois $\mu$ é uma constante somada $n$ vezes.
Passo 6 — Resultado final da log-verossimilhança expandida:
\[\ell(\mu \mid \mathbf{x}) = -n\ln(\sigma\sqrt{2\pi}) - \frac{1}{2\sigma^2}\left[\sum_{i=1}^{n}x_i^2 - 2\mu\sum_{i=1}^{n}x_i + n\mu^2\right]\]Observação crítica: Após a expansão, os dados $x_1, \ldots, x_n$ entram na log-verossimilhança em duas formas apenas: $\sum x_i^2$ e $\sum x_i$. O termo $\sum x_i^2$ não depende de $\mu$ (é constante na otimização). Logo, toda a dependência em $\mu$ passa exclusivamente por $\sum x_i$ — o que antecipa a suficiência da média amostral, demonstrada na seção seguinte.
4. Estatística Suficiente
4.1 Definição
Uma estatística $T(\mathbf{X})$ é suficiente para $\mu$ se a distribuição condicional de $\mathbf{X}$ dado $T(\mathbf{X}) = t$ não depende de $\mu$. Em outras palavras: dado o valor de $T(\mathbf{X})$, os dados individuais não fornecem informação adicional sobre o parâmetro.
4.2 Teorema da Fatorização de Neyman–Fisher
Teorema: $T(\mathbf{X})$ é suficiente para $\mu$ se e somente se a densidade conjunta admite a fatorização:
\[f(\mathbf{x};\, \mu) = g\!\left(T(\mathbf{x}),\, \mu\right) \cdot h(\mathbf{x})\]onde $g$ depende de $\mathbf{x}$ apenas através de $T(\mathbf{x})$, e $h$ não depende de $\mu$.
4.3 Aplicação à distribuição Normal
O objetivo é reescrever $L(\mu \mid \mathbf{x})$ na forma $h(\mathbf{x}) \cdot g(T(\mathbf{x}), \mu)$, separando o que depende apenas dos dados do que depende também de $\mu$.
Passo 1 — Partir da verossimilhança compacta (obtida na Seção 3.2):
\[L(\mu \mid \mathbf{x}) = \left(\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\right)^{\!n} \exp\!\left(-\frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^2\right)\]Passo 2 — Expandir o expoente usando $(x_i - \mu)^2 = x_i^2 - 2\mu x_i + \mu^2$ (ver Seção 3.3, Passo 4–5):
\[-\frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^2 = -\frac{1}{2\sigma^2}\left[\sum_{i=1}^n x_i^2 - 2\mu\sum_{i=1}^n x_i + n\mu^2\right]\]Passo 3 — Distribuir o fator $-\tfrac{1}{2\sigma^2}$ pelas três parcelas (regra da distributividade $\tfrac{a}{c}(x+y+z) = \tfrac{ax}{c} + \tfrac{ay}{c} + \tfrac{az}{c}$):
\[= -\frac{\sum_{i=1}^n x_i^2}{2\sigma^2} + \frac{\mu\sum_{i=1}^n x_i}{\sigma^2} - \frac{n\mu^2}{2\sigma^2}\]Observe que a segunda parcela tem sinal positivo: $-\tfrac{1}{2\sigma^2} \cdot (-2\mu\sum x_i) = +\tfrac{\mu\sum x_i}{\sigma^2}$.
Passo 4 — Reagrupar as parcelas separando o que depende só de $\mathbf{x}$ do que envolve $\mu$:
\[= \underbrace{\vphantom{\frac{n\mu^2}{2\sigma^2}}-\frac{\sum_{i=1}^n x_i^2}{2\sigma^2}}_{\text{só dados}} + \underbrace{\frac{\mu}{\sigma^2}\sum_{i=1}^n x_i - \frac{n\mu^2}{2\sigma^2}}_{\text{dados} + \mu}\]Passo 5 — Usar a propriedade $e^{a+b} = e^a \cdot e^b$ para separar os dois grupos em dois exponenciais distintos:
\[L(\mu \mid \mathbf{x}) = \underbrace{\left(\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\right)^n \exp\!\left(-\frac{\sum x_i^2}{2\sigma^2}\right)}_{h(\mathbf{x}) \;:\; \text{não depende de }\mu} \cdot \underbrace{\exp\!\left(\frac{\mu}{\sigma^2}\sum_{i=1}^n x_i - \frac{n\mu^2}{2\sigma^2}\right)}_{g(T(\mathbf{x}),\,\mu) \;:\; \text{depende de }\mathbf{x}\text{ só via }T=\sum x_i}\]A fatorização está estabelecida com $T(\mathbf{X}) = \displaystyle\sum_{i=1}^n X_i$.
Por que $g$ depende de $\mathbf{x}$ apenas através de $\sum x_i$? O expoente de $g$ contém $\sum x_i$ como bloco monolítico — dado o valor de $\sum x_i$, não importa quais foram os $x_i$ individuais. Isso é precisamente o significado de suficiência: $T = \sum X_i$ captura toda a informação que $\mathbf{x}$ carrega sobre $\mu$.
Como $\bar{X} = T(\mathbf{X})/n$ é uma transformação bijetora de $T(\mathbf{X})$, a média amostral $\bar{X}$ também é suficiente para $\mu$.
4.4 Interpretação prática
A suficiência garante que, após calcular $\bar{X}$, os dados individuais $x_1, \ldots, x_n$ não acrescentam nenhuma informação sobre $\mu$. A média amostral é uma compressão sem perda de informação: em vez de armazenar e transmitir 10 números, basta um.
5. Estimador de Máxima Verossimilhança
5.1 Princípio da Máxima Verossimilhança
O Estimador de Máxima Verossimilhança (EMV) $\hat{\mu}$ é o valor de $\mu$ que maximiza a verossimilhança observada:
\[\hat{\mu} = \arg\max_{\mu \in \mathbb{R}} \; \ell(\mu \mid \mathbf{x})\]5.2 Derivação completa
Passo 1 — Log-verossimilhança (forma expandida, da Seção 3.3):
\[\ell(\mu) = -n\ln(\sigma\sqrt{2\pi}) - \frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \mu)^2\]O primeiro termo não depende de $\mu$ — sua derivada é zero. O segundo termo é o que precisa ser derivado.
Passo 2 — Calcular $\frac{\partial}{\partial\mu}\sum(x_i - \mu)^2$ usando a regra da cadeia para cada parcela:
\[\frac{\partial}{\partial\mu}(x_i - \mu)^2 \overset{\text{cadeia}}{=} 2(x_i - \mu) \cdot \frac{\partial}{\partial\mu}(x_i - \mu) = 2(x_i - \mu) \cdot (-1) = -2(x_i - \mu)\]Somando sobre $i$:
\[\frac{\partial}{\partial\mu}\sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2 = \sum_{i=1}^n -2(x_i - \mu) = -2\sum_{i=1}^n (x_i - \mu)\]Passo 3 — Derivar a log-verossimilhança completa:
\[\frac{\partial \ell}{\partial \mu} = 0 - \frac{1}{2\sigma^2} \cdot \left[-2\sum_{i=1}^{n}(x_i - \mu)\right] = \frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \mu)\]O fator $-\tfrac{1}{2\sigma^2}$ multiplicado por $-2$ resulta em $+\tfrac{1}{\sigma^2}$ — os dois sinais negativos se cancelam.
Passo 4 — Condição de primeira ordem (equação de score — igualada a zero):
\[\frac{\partial \ell}{\partial \mu} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \mu) = 0\]Como $\sigma^2 > 0$, podemos multiplicar ambos os lados por $\sigma^2$ sem alterar a igualdade:
\[\sum_{i=1}^{n}(x_i - \mu) = 0\]Passo 5 — Distribuir o somatório (usando $\sum(a - b) = \sum a - \sum b$):
\[\sum_{i=1}^{n} x_i - \sum_{i=1}^{n} \mu = 0 \quad\Longrightarrow\quad \sum_{i=1}^{n} x_i - n\mu = 0\]$\displaystyle\sum_{i=1}^n \mu = n\mu$ porque $\mu$ é constante, somada $n$ vezes.
Passo 6 — Isolar $\hat{\mu}$ (dividir ambos os lados por $n$):
\[n\mu = \sum_{i=1}^{n} x_i \quad\Longrightarrow\quad \hat{\mu} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i = \bar{x}\]Passo 7 — Verificação de máximo via segunda derivada (condição suficiente de máximo):
\[\frac{\partial^2 \ell}{\partial \mu^2} = \frac{\partial}{\partial\mu}\left[\frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^n(x_i - \mu)\right] = \frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^n \frac{\partial}{\partial\mu}(x_i - \mu) = \frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^n (-1) = -\frac{n}{\sigma^2}\] \[-\frac{n}{\sigma^2} < 0 \quad \forall\, n \geq 1,\; \sigma > 0\]A segunda derivada é independente de $\mu$ e sempre negativa — a log-verossimilhança é côncava em todo $\mathbb{R}$, portanto $\hat{\mu} = \bar{x}$ é um máximo global único (e não apenas local).
5.3 Estimador final
\[\boxed{\hat{\mu}_{\,\text{EMV}} = \bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i}\]6. Propriedades dos Estimadores
6.1 Não-viesamento
Um estimador $\hat{\theta}$ é não-viesado (ou não tendencioso) para $\theta$ se:
\[\mathbb{E}[\hat{\theta}] = \theta \quad\Longleftrightarrow\quad \text{Viés}(\hat{\theta}) = \mathbb{E}[\hat{\theta}] - \theta = 0\]Prova para $\bar{X}$ (passo a passo com justificativa de cada propriedade):
\[\mathbb{E}[\bar{X}] = \mathbb{E}\!\left[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\right]\]Passo 1 — Linearidade de $\mathbb{E}$: a constante multiplicativa sai da esperança ($\mathbb{E}[c \cdot Z] = c\cdot\mathbb{E}[Z]$):
\[= \frac{1}{n}\,\mathbb{E}\!\left[\sum_{i=1}^n X_i\right]\]Passo 2 — Linearidade de $\mathbb{E}$ para somas ($\mathbb{E}[Z_1 + \cdots + Z_n] = \mathbb{E}[Z_1] + \cdots + \mathbb{E}[Z_n]$, sem exigir independência):
\[= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \mathbb{E}[X_i]\]Passo 3 — Substituir $\mathbb{E}[X_i] = \mu$ (por hipótese, cada $X_i \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$):
\[= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \mu\]Passo 4 — Calcular a soma de $n$ termos iguais a $\mu$:
\[= \frac{1}{n} \cdot n\mu = \mu \quad \checkmark\]Interpretação: Se o processo amostral fosse repetido infinitas vezes e $\bar{x}$ calculado em cada réplica, a média de todas as estimativas convergiria exatamente para o parâmetro verdadeiro $\mu$.
6.2 Variância do estimador
Passo 1 — Escrever a definição:
\[\text{Var}(\bar{X}) = \text{Var}\!\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\right)\]Passo 2 — Extrair a constante usando $\text{Var}(c\cdot Z) = c^2 \,\text{Var}(Z)$ com $c = \tfrac{1}{n}$:
\[= \frac{1}{n^2}\,\text{Var}\!\left(\sum_{i=1}^n X_i\right)\]Atenção: a constante sai ao quadrado na variância, diferente da esperança onde sai linearmente.
Passo 3 — Distribuir a variância sobre a soma usando independência das observações. Para variáveis independentes, $\text{Var}(Z_1 + \cdots + Z_n) = \text{Var}(Z_1) + \cdots + \text{Var}(Z_n)$ (se houvesse dependência, apareceriam termos de covariância $2\sum_{i<j}\text{Cov}(X_i, X_j)$, que aqui são zero por independência):
\[= \frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n \text{Var}(X_i)\]Passo 4 — Substituir $\text{Var}(X_i) = \sigma^2$ (por hipótese, cada $X_i \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$):
\[= \frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n \sigma^2 = \frac{1}{n^2} \cdot n\sigma^2 = \frac{\sigma^2}{n}\]O erro padrão do estimador (medida de precisão) é:
\[\text{SE}(\bar{X}) = \sqrt{\text{Var}(\bar{X})} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\]Interpretação: Quadruplicar o tamanho da amostra reduz o erro padrão à metade. A precisão cresce com $\sqrt{n}$, não com $n$ — lei dos rendimentos decrescentes da amostragem.
6.3 Eficiência e Limite de Cramér–Rao
Informação de Fisher
A informação de Fisher quantifica a curvatura esperada da log-verossimilhança — quanto mais “pontiaguda” a curva, mais informativa é a amostra sobre $\mu$:
\[\mathcal{I}(\mu) = \mathbb{E}\!\left[-\frac{\partial^2}{\partial \mu^2}\ln f(X;\,\mu)\right]\]Para $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$, o cálculo segue:
Passo 1 — Log-densidade de uma observação:
\[\ln f(x;\,\mu) = -\ln(\sigma\sqrt{2\pi}) - \frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\]Passo 2 — Primeira derivada (a constante $-\ln(\sigma\sqrt{2\pi})$ desaparece; aplica-se a regra da cadeia a $(x-\mu)^2$):
\[\frac{\partial}{\partial\mu}\ln f(x;\,\mu) = -\frac{1}{2\sigma^2} \cdot 2(x-\mu)\cdot(-1) = \frac{x - \mu}{\sigma^2}\]Esta expressão — a função score — mede o quanto a log-densidade varia ao mudar $\mu$. Seu valor esperado é zero: $\mathbb{E}[\text{score}] = \mathbb{E}[(X-\mu)/\sigma^2] = 0$.
Passo 3 — Segunda derivada (derivar $\tfrac{x-\mu}{\sigma^2}$ em relação a $\mu$; $x$ é constante):
\[\frac{\partial^2}{\partial\mu^2}\ln f(x;\,\mu) = \frac{\partial}{\partial\mu}\!\left(\frac{x-\mu}{\sigma^2}\right) = \frac{-1}{\sigma^2}\]Passo 4 — Tomar o valor esperado com sinal negativo:
\[\mathcal{I}(\mu) = \mathbb{E}\!\left[-\frac{\partial^2}{\partial\mu^2}\ln f(X;\,\mu)\right] = \mathbb{E}\!\left[-\left(-\frac{1}{\sigma^2}\right)\right] = \mathbb{E}\!\left[\frac{1}{\sigma^2}\right] = \frac{1}{\sigma^2}\]A segunda derivada é constante (não depende de $x$ nem de $\mu$), então o valor esperado é a própria constante.
Para $n$ observações i.i.d., a informação de Fisher total é aditiva: $\;\mathcal{I}_n(\mu) = n \cdot \mathcal{I}(\mu) = \dfrac{n}{\sigma^2}$.
Limite de Cramér–Rao (LCR)
Para qualquer estimador não-viesado $\hat{\mu}$ de $\mu$:
\[\text{Var}(\hat{\mu}) \geq \frac{1}{\mathcal{I}_n(\mu)} = \frac{\sigma^2}{n}\]Nenhum estimador não-viesado pode ter variância menor que $\sigma^2/n$ — este é o menor erro possível.
Verificação da eficiência de $\bar{X}$
\[\text{Var}(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n} = \frac{1}{\mathcal{I}_n(\mu)} \quad\Rightarrow\quad \text{Eficiência relativa} = \frac{\text{LCR}}{\text{Var}(\hat{\mu})} = 1 = 100\%\]Conclusão: $\bar{X}$ é eficiente — atinge o limite teórico mínimo de variância entre todos os estimadores não-viesados de $\mu$.
6.4 Consistência
$\bar{X}$ é consistente para $\mu$. Pela Lei dos Grandes Números (LGN):
\[\bar{X} \xrightarrow{\;P\;} \mu \quad \text{quando } n \to \infty\]Formalmente: $\forall\, \varepsilon > 0$,
\[\lim_{n \to \infty} P\!\left(|\bar{X} - \mu| > \varepsilon\right) = 0\]6.5 Suficiência (confirmação)
Conforme demonstrado na Seção 4, $\bar{X}$ é suficiente para $\mu$ pela fatorização de Neyman–Fisher: toda a informação amostral sobre $\mu$ está contida em $\bar{X}$.
6.6 Completude
A família ${\mathcal{N}(\mu, \sigma^2) : \mu \in \mathbb{R}}$ com $\sigma^2$ conhecido pertence à classe das famílias exponenciais completas. Nesse contexto, a estatística suficiente $T(\mathbf{X}) = \sum X_i$ é também completa:
\[\mathbb{E}_\mu\!\left[g(T(\mathbf{X}))\right] = 0 \;\;\forall\, \mu \quad\Longrightarrow\quad g\!\left(T(\mathbf{X})\right) = 0 \;\;\text{q.c.}\]A completude garante que não existe nenhuma função da estatística suficiente que seja não-informativa sobre $\mu$ — ela utiliza toda a estrutura paramétrica disponível.
6.7 UMVUE — Teorema de Lehmann–Scheffé
Teorema (Lehmann–Scheffé): Se $T(\mathbf{X})$ é uma estatística completa e suficiente para $\theta$, e $\varphi(T)$ é uma função não-viesada de $T$ para $\theta$, então $\varphi(T)$ é o UMVUE (Uniformly Minimum Variance Unbiased Estimator — Estimador Não-Viesado de Variância Uniformemente Mínima).
Aplicação:
| Condição | Verifica? |
|---|---|
| $T = \sum X_i$ é suficiente para $\mu$ | ✓ |
| $T = \sum X_i$ é completa para $\mu$ | ✓ |
| $\bar{X} = T/n$ é função de $T$ | ✓ |
| $\mathbb{E}[\bar{X}] = \mu$ (não-viesado) | ✓ |
7. Intervalo de Confiança
7.1 Formulação geral
Um intervalo de confiança de nível $1-\alpha$ para $\mu$ é um intervalo aleatório $[L(\mathbf{X}),\, U(\mathbf{X})]$ tal que:
\[P\!\left(L(\mathbf{X}) \leq \mu \leq U(\mathbf{X})\right) = 1 - \alpha \quad \forall\, \mu\]7.2 Construção via quantidade pivô
Como $X_i \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ com $\sigma^2$ conhecido, a quantidade:
\[Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim \mathcal{N}(0,1)\]é um pivô — tem distribuição conhecida e independente de $\mu$. Portanto:
\[P\!\left(-z_{\alpha/2} \leq \frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} \leq z_{\alpha/2}\right) = 1-\alpha\]Isolando $\mu$:
\[\boxed{IC_{1-\alpha}(\mu) = \bar{x} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\]Para $\alpha = 0.05$: $z_{0.025} = 1.96$.
7.3 Interpretação correta
O que se afirma corretamente: o procedimento de construção desses intervalos captura o verdadeiro μ em 95% das amostras possíveis. O intervalo específico calculado ou contém μ ou não — com certeza.
8. Teste de Hipótese
8.1 Formulação das hipóteses
\[H_0:\, \mu = \mu_0 = 500 \quad \text{vs} \quad H_1:\, \mu \neq 500\]- $H_0$: a máquina está calibrada.
- $H_1$: a máquina está desregulada (peso sistematicamente diferente de 500 g).
O teste é bilateral, pois qualquer desvio — tanto excesso quanto falta de produto — é problemático.
8.2 Estatística de teste
Sob $H_0$, a distribuição amostral do estimador $\bar{X}$ é completamente especificada:
\[Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \overset{H_0}{\sim} \mathcal{N}(0,1)\]8.3 Região crítica
Para nível de significância $\alpha = 0.05$:
\[\mathcal{RC} = \left\{|z| > z_{\alpha/2}\right\} = \left\{|z| > 1.96\right\}\]8.4 Cálculo do p-valor
O p-valor é a probabilidade de observar uma estatística tão ou mais extrema que a observada, supondo $H_0$ verdadeira:
\[\text{p-valor} = 2 \cdot P\!\left(Z > |z_{\text{obs}}|\right) = 2 \cdot \left[1 - \Phi(|z_{\text{obs}}|)\right]\]8.5 Regra de decisão
\[\text{Rejeitar } H_0 \iff |z_{\text{obs}}| > z_{\alpha/2} \iff \text{p-valor} < \alpha\]| Decisão vs. Realidade | $H_0$ Verdadeira | $H_0$ Falsa |
|---|---|---|
| Rejeitar $H_0$ | Erro Tipo I ($\alpha$) | Decisão correta ($1-\beta$) |
| Não rejeitar $H_0$ | Decisão correta ($1-\alpha$) | Erro Tipo II ($\beta$) |
9. Tomada de Decisão
| Resultado estatístico | Interpretação prática |
|---|---|
| Não rejeitar $H_0$ | Máquina operando conforme especificação; nenhuma ação necessária |
| Rejeitar $H_0$ (p $<$ 0.05) | Evidência de desregulagem; acionar manutenção e recalibração |
| IC não contém $\mu_0 = 500$ | Confirma desvio significativo da especificação nominal |
Dimensões de risco
- Erro Tipo I ($\alpha = 5\%$): recalibrar a máquina quando ela está funcionando corretamente — custo operacional desnecessário e parada de produção.
- Erro Tipo II ($\beta$): não recalibrar quando a máquina está desregulada — risco de produto fora de especificação, insatisfação de clientes e penalidades regulatórias.
Em controle de qualidade, o engenheiro define $\alpha$ com base no custo relativo desses dois tipos de erro. O valor padrão de 5% não é universal; em aplicações críticas (segurança alimentar, saúde), $\alpha = 1\%$ ou menor pode ser mais apropriado.
10. Exemplo Completo com Dados
10.1 Dados observados
Uma amostra de $n = 10$ embalagens produziu os seguintes pesos (em gramas):
| Embalagem | $x_i$ | $x_i - \bar{x}$ | $(x_i - \bar{x})^2$ |
|---|---|---|---|
| 1 | 504 | −1 | 1 |
| 2 | 507 | +2 | 4 |
| 3 | 503 | −2 | 4 |
| 4 | 506 | +1 | 1 |
| 5 | 505 | 0 | 0 |
| 6 | 502 | −3 | 9 |
| 7 | 508 | +3 | 9 |
| 8 | 506 | +1 | 1 |
| 9 | 503 | −2 | 4 |
| 10 | 506 | +1 | 1 |
| Soma | 5050 | 0 | 34 |
Parâmetros do processo: $\sigma = 5$ g (conhecido), $\mu_0 = 500$ g, $\alpha = 0.05$.
10.2 Passo 1 — Estatística suficiente e estimativa pontual
A estatística suficiente $T = \sum x_i = 5050$ resume toda a informação amostral. O EMV é:
\[\hat{\mu} = \bar{x} = \frac{T}{n} = \frac{5050}{10} = 505.0 \text{ g}\]A estimativa pontual indica que a máquina está produzindo embalagens com peso médio 5 g acima da especificação.
10.3 Passo 2 — Variância amostral e erro padrão
Variância amostral não-viesada ($s^2$):
\[s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 = \frac{34}{9} \approx 3.778 \text{ g}^2 \quad\Rightarrow\quad s \approx 1.944 \text{ g}\]Erro padrão do estimador (com $\sigma$ de processo conhecido):
\[\text{SE}(\bar{X}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{5}{\sqrt{10}} = \frac{5}{3.1623} \approx 1.5811 \text{ g}\]10.4 Passo 3 — Informação de Fisher e Limite de Cramér–Rao
\[\mathcal{I}_{10}(\mu) = \frac{n}{\sigma^2} = \frac{10}{25} = 0.4\] \[\text{LCR} = \frac{1}{\mathcal{I}_{10}(\mu)} = \frac{\sigma^2}{n} = \frac{25}{10} = 2.5 \text{ g}^2\] \[\text{Var}(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n} = 2.5 = \text{LCR} \quad\Rightarrow\quad \text{Eficiência de } \bar{X} = 100\%\]10.5 Passo 4 — Intervalo de confiança de 95%
\[IC_{95\%}(\mu) = \bar{x} \pm z_{0.025} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 505.0 \pm 1.96 \times 1.5811 = 505.0 \pm 3.099\] \[\boxed{IC_{95\%}(\mu) = [501.9\,;\;508.1] \text{ g}}\]O intervalo não contém o valor nominal $\mu_0 = 500$ g — sinal preliminar de desregulagem.
10.6 Passo 5 — Teste de hipótese bilateral
Estatística de teste observada:
\[z_{\text{obs}} = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} = \frac{505.0 - 500}{5/\sqrt{10}} = \frac{5.0}{1.5811} = \sqrt{10} \approx 3.162\]Comparação com região crítica:
\[|z_{\text{obs}}| = 3.162 > z_{0.025} = 1.96 \quad\Longrightarrow\quad \textbf{Rejeitar } H_0\]p-valor:
\[\text{p-valor} = 2 \cdot \left[1 - \Phi(3.162)\right] \approx 2 \times 0.000783 \approx 0.00157\]Como $0.00157 < 0.05$ → Rejeitar $H_0$ (confirmado).
10.7 Síntese dos resultados
Decisão prática: Acionar a equipe de manutenção para recalibração da máquina de envase. O excesso de 5 g por embalagem representa prejuízo econômico de 1% da massa do produto por unidade produzida.
11. Implementação em Julia
using Statistics
using Distributions
# ── Dados ──────────────────────────────────────────────────────────────────
dados = [504, 507, 503, 506, 505, 502, 508, 506, 503, 506]
n = length(dados)
σ = 5.0 # desvio padrão do processo (conhecido)
μ₀ = 500.0 # valor nominal (hipótese nula)
α = 0.05 # nível de significância
# ── 1. Estatística suficiente e estimativa pontual (EMV) ───────────────────
T = sum(dados) # estatística suficiente
x̄ = T / n # EMV = média amostral
println("Estatística suficiente T = Σxᵢ: $T")
println("Estimativa pontual (EMV): x̄ = $x̄ g")
# ── 2. Variância amostral e erro padrão ────────────────────────────────────
s² = var(dados; corrected=true) # variância amostral não-viesada
SE = σ / sqrt(n) # erro padrão com σ conhecido
println("\nVariância amostral (s²): $(round(s²; digits=3)) g²")
println("Erro padrão do estimador (SE): $(round(SE; digits=4)) g")
# ── 3. Log-verossimilhança ─────────────────────────────────────────────────
loglik(μ) = -n * log(σ * sqrt(2π)) - sum((dados .- μ).^2) / (2σ^2)
println("\nLog-verossimilhança em x̄ = $x̄: $(round(loglik(x̄); digits=4))")
println("Log-verossimilhança em μ₀ = $μ₀: $(round(loglik(μ₀); digits=4))")
# ── 4. Informação de Fisher e Limite de Cramér–Rao ─────────────────────────
I_n = n / σ^2
LCR = 1 / I_n
efic = LCR / (σ^2/n) * 100
println("\nInformação de Fisher (n obs): Iₙ(μ) = $I_n")
println("Limite de Cramér–Rao: LCR = $LCR g²")
println("Eficiência de x̄: $(round(efic; digits=1))%")
# ── 5. Intervalo de confiança (95%) ────────────────────────────────────────
z_crit = quantile(Normal(0, 1), 1 - α/2)
margem = z_crit * SE
IC_inf = x̄ - margem
IC_sup = x̄ + margem
println("\nIntervalo de Confiança $(Int((1-α)*100))%: [$(round(IC_inf; digits=2)), $(round(IC_sup; digits=2))] g")
println("Contém μ₀ = $μ₀? $(IC_inf ≤ μ₀ ≤ IC_sup)")
# ── 6. Teste de hipótese bilateral (z-test) ────────────────────────────────
z_obs = (x̄ - μ₀) / SE
p_valor = 2 * (1 - cdf(Normal(0, 1), abs(z_obs)))
decisao = abs(z_obs) > z_crit ? "REJEITAR H₀" : "Não rejeitar H₀"
println("\n── Teste de Hipótese ──────────────────────────────────────────────")
println("H₀: μ = $μ₀ vs H₁: μ ≠ $μ₀")
println("Estatística z observada: $(round(z_obs; digits=4))")
println("Valor crítico (α = $α): ±$(round(z_crit; digits=4))")
println("p-valor: $(round(p_valor; digits=6))")
println("Decisão: $decisao")
Estimativa pontual (EMV): x̄ = 505.0 g
Variância amostral (s²): 3.778 g²
Erro padrão do estimador (SE): 1.5811 g
Log-verossimilhança em x̄ = 505.0: -25.9638
Log-verossimilhança em μ₀ = 500.0: -30.9638
Informação de Fisher (n obs): Iₙ(μ) = 0.4
Limite de Cramér–Rao: LCR = 2.5 g²
Eficiência de x̄: 100.0%
Intervalo de Confiança 95%: [501.9, 508.1] g
Contém μ₀ = 500.0? false
── Teste de Hipótese ──────────────────────────────────────────────
H₀: μ = 500.0 vs H₁: μ ≠ 500.0
Estatística z observada: 3.1623
Valor crítico (α = 0.05): ±1.9600
p-valor: 0.001565
Decisão: REJEITAR H₀
Visualização da curva de log-verossimilhança
using Plots, Statistics
dados = [504, 507, 503, 506, 505, 502, 508, 506, 503, 506]
n, σ = length(dados), 5.0
loglik(μ) = -n * log(σ * sqrt(2π)) - sum((dados .- μ).^2) / (2σ^2)
μ_vals = range(493, 517; length=300)
plot(μ_vals, loglik.(μ_vals),
xlabel="μ (g)", ylabel="ℓ(μ | x)",
title="Log-Verossimilhança — Normal(μ, σ²=25)",
label="ℓ(μ)", lw=2, color=:steelblue)
vline!([mean(dados)],
label="EMV = $(mean(dados)) g",
color=:red, lw=2, linestyle=:dash)
vline!([500.0],
label="μ₀ = 500 g",
color=:orange, lw=2, linestyle=:dot)
12. Conclusão Conceitual
12.1 Síntese do fluxo de inferência
\[\underbrace{\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)}_{\text{Distribuição}} \;\longrightarrow\; \underbrace{L(\mu\mid\mathbf{x})}_{\text{Verossimilhança}} \;\longrightarrow\; \underbrace{T = \sum X_i}_{\substack{\text{Estat.} \\ \text{Suficiente}}} \;\longrightarrow\; \underbrace{\bar{X}}_{\substack{\text{EMV} \\ \text{UMVUE}}} \;\longrightarrow\; \underbrace{IC \;\text{e}\; z\text{-test}}_{\text{Inferência}} \;\longrightarrow\; \underbrace{\text{Recalibrar}}_{\text{Decisão}}\]12.2 Hierarquia das propriedades de $\bar{X}$
| Propriedade | Significado | $\bar{X}$ satisfaz? |
|---|---|---|
| Não-viesado | $\mathbb{E}[\bar{X}] = \mu$ | ✓ |
| Consistente | $\bar{X} \xrightarrow{P} \mu$ quando $n \to \infty$ | ✓ |
| Eficiente | $\text{Var}(\bar{X}) = \text{LCR}$ | ✓ |
| Suficiente | Captura toda a informação amostral sobre $\mu$ | ✓ |
| Completo | Não carrega informação supérflua | ✓ |
| UMVUE | Melhor estimador não-viesado (Lehmann–Scheffé) | ✓ |
12.3 Lições fundamentais
1. Modelagem é o passo mais crítico. A escolha da distribuição determina a verossimilhança e, por consequência, o estimador ótimo. Um modelo incorreto pode levar a estimadores inconsistentes independentemente do tamanho da amostra.
2. Suficiência permite compressão de dados. Em vez de armazenar todos os $n$ valores individuais, basta $\bar{x}$ para toda a inferência sobre $\mu$. Isso é especialmente relevante em sistemas com restrições de memória, transmissão ou privacidade.
3. O UMVUE é o melhor possível — não apenas na prática. Nenhum procedimento não-viesado pode ser mais preciso que $\bar{X}$ para estimar $\mu$ na Normal. Essa é uma garantia matemática derivada do Teorema de Lehmann–Scheffé.
4. Estatística e decisão são inseparáveis. O p-valor e o IC quantificam a incerteza; a decisão final envolve também custos, riscos e contexto. Um resultado estatisticamente significativo pode não ser praticamente relevante — e vice-versa.
5. A assimetria de erros guia a escolha de $\alpha$. O nível padrão de 5% não é uma lei da natureza. Em contextos com alta assimetria de custos (Tipo I vs. Tipo II), o nível deve ser calibrado explicitamente.
Referências Bibliográficas
-
Casella, G., & Berger, R. L. (2002). Statistical Inference (2nd ed.). Duxbury Press. — Página do livro (Cengage)
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Lehmann, E. L., & Casella, G. (1998). Theory of Point Estimation (2nd ed.). Springer. — Springer Link
-
Morettin, P. A., & Bussab, W. O. (2017). Estatística Básica (9ª ed.). Saraiva.
-
Montgomery, D. C., & Runger, G. C. (2018). Applied Statistics and Probability for Engineers (7th ed.). Wiley. — Wiley
-
Wasserman, L. (2004). All of Statistics: A Concise Course in Statistical Inference. Springer. — Springer Link
-
Julia Language — Documentação
Statistics.jl: https://docs.julialang.org/en/v1/stdlib/Statistics/ -
Julia Language — Documentação
Distributions.jl: https://juliastats.org/Distributions.jl/stable/