Questões Práticas Resolvidas
🎲 Questão de Probabilidade: Lampiões em uma Vila
Enunciado:
Em uma vila onde o fornecimento elétrico é instável, cada morador possui um lampião a querosene. Estudos mostram que, em média, 1 em cada 5 lampiões falha ao ser aceso devido a impurezas no combustível.
Durante uma noite de apagão, 6 moradores tentam acender seus lampiões independentemente.
Pergunta-se:
- Qual a probabilidade de exatamente 2 lampiões falharem ao acender?
- Qual a probabilidade de pelo menos 1 lampião funcionar corretamente?
- Se um morador substitui o querosene por um combustível filtrado que reduz a chance de falha para 10%, qual a nova probabilidade de nenhum lampião falhar entre os 6?
Resolução Detalhada
O problema pode ser modelado usando a distribuição binomial, pois temos um número fixo de tentativas independentes ($n=6$), cada uma com dois resultados possíveis (falha ou sucesso) e uma probabilidade constante de falha ($p=1/5=0.2$).
Seja $X$ o número de lampiões que falham. Temos $X \sim \text{Binomial}(n=6, p=0.2)$.
1. Probabilidade de exatamente 2 lampiões falharem
Usamos a fórmula da função de probabilidade binomial:
\[P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\]Para $k=2$, $n=6$ e $p=0.2$:
\[P(X=2) = \binom{6}{2} (0.2)^2 (0.8)^4\]Calculando cada termo separadamente:
\[\binom{6}{2} = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15\] \[(0.2)^2 = 0.04\] \[(0.8)^4 = 0.4096\]Juntando os resultados:
\[P(X=2) = 15 \cdot 0.04 \cdot 0.4096\] \[P(X=2) = 0.24576\]A probabilidade de exatamente 2 lampiões falharem é de 24,58%.
2. Probabilidade de pelo menos 1 lampião funcionar corretamente
“Pelo menos 1 funcionar” é o evento complementar de “nenhum funcionar”, ou seja, “todos os 6 falharem”. \(P(\text{pelo menos 1 funciona}) = 1 - P(\text{todos os 6 falham})\) A probabilidade de todos os 6 falharem corresponde a $P(X=6)$:
\[P(X=6) = \binom{6}{6} (0.2)^6 (0.8)^0\] \[P(X=6) = 1 \cdot (0.2)^6 \cdot 1\] \[P(X=6) = 0.000064\]Agora, calculamos a probabilidade complementar:
\[P(\text{pelo menos 1 funciona}) = 1 - 0.000064\] \[P(\text{pelo menos 1 funciona}) = 0.999936\]A probabilidade é de 99,99%, ou seja, é quase certo que pelo menos um lampião acenderá.
3. Nova probabilidade com combustível filtrado
Com o novo combustível, a probabilidade de falha é $p’ = 0.1$. A probabilidade de um lampião funcionar é $1 - p’ = 0.9$.
A pergunta é a probabilidade de nenhum lampião falhar, que corresponde a $P(X=0)$ com a nova probabilidade $p’=0.1$.
\[P(X=0) = \binom{6}{0} (0.1)^0 (0.9)^6\] \[P(X=0) = 1 \cdot 1 \cdot (0.9)^6\] \[P(X=0) = 0.531441\]Com o combustível filtrado, a probabilidade de nenhum lampião falhar é de 53,14%.
- Probabilidade de exatamente 2 falhas: 24,58%
- Probabilidade de pelo menos 1 funcionar: 99,99%
- Probabilidade de nenhuma falha (combustível novo): 53,14%
🎲 Questão 2: A Vida Útil dos Lampiões (Distribuição Exponencial)
Enunciado:
Sabe-se que a vida útil (em horas) de um lampião de citronela segue uma distribuição exponencial com média de 6 horas (ou seja, o parâmetro de taxa $\lambda = 1/6$).
Pergunta-se:
- Qual a probabilidade de um lampião durar mais de 8 horas?
- Se um morador tem 4 lampiões idênticos, qual a probabilidade de pelo menos um deles durar mais de 8 horas?
- Determine a mediana da distribuição (o tempo em que metade dos lampiões já se apagou).
- Se um lampião já está aceso há 6 horas, qual a probabilidade de ele continuar aceso por pelo menos mais 4 horas? (Dica: use a propriedade de "falta de memória").
Resolução Detalhada
A vida útil $T$ de um lampião segue uma distribuição Exponencial com média $E[T] = 6$ horas. O parâmetro de taxa $\lambda$ é o inverso da média, então $\lambda = 1/6$.
A função de sobrevivência para a distribuição exponencial é
\[P(T > t) = e^{-\lambda t}\]1. Probabilidade de um lampião durar mais de 8 horas
Usamos a função de sobrevivência com $t=8$:
\[P(T > 8) = e^{-\lambda \cdot 8}\] \[P(T > 8) = e^{-(1/6) \cdot 8} = e^{-8/6} \approx e^{-1.333}\] \[P(T > 8) \approx 0.2636\]A probabilidade de um lampião durar mais de 8 horas é de 26,36%.
2. Probabilidade de pelo menos 1 de 4 lampiões durar mais de 8 horas
Este é o evento complementar de “nenhum dos 4 lampiões durar mais de 8 horas”. Seja $p = P(T > 8) \approx 0.2636$. A probabilidade de um lampião NÃO durar mais de 8 horas é $1-p$.
\[P(\text{pelo menos 1 > 8h}) = 1 - P(\text{nenhum > 8h})\] \[P(\text{pelo menos 1 > 8h}) = 1 - (1 - p)^4\] \[P(\text{pelo menos 1 > 8h}) = 1 - (1 - 0.2636)^4 = 1 - (0.7364)^4\] \[P(\text{pelo menos 1 > 8h}) \approx 1 - 0.2941 \approx 0.7059\]A probabilidade de pelo menos um dos quatro lampiões durar mais de 8 horas é de 70,59%.
3. Mediana da distribuição
A mediana $m$ é o tempo $t$ para o qual $P(T > m) = 0.5$.
\[e^{-\lambda m} = 0.5\]Resolvendo para $m$:
\[-\lambda m = \ln(0.5) = -\ln(2)\] \[m = \frac{\ln(2)}{\lambda} = \ln(2) \cdot 6\] \[m \approx 0.6931 \cdot 6 \approx 4.1586 \text{ horas}\]A mediana da vida útil é de aproximadamente 4,16 horas. Metade dos lampiões terá se apagado antes desse tempo.
4. Probabilidade condicional (Propriedade de Falta de Memória)
A distribuição exponencial tem a propriedade de “falta de memória”, que diz:
\[P(T > s+t \mid T > s) = P(T > t)\]Queremos saber a probabilidade de o lampião durar mais 4 horas, dado que já durou 6 horas. Ou seja, $s=6$ e $t=4$.
\[P(T > 6+4 \mid T > 6) = P(T > 4)\]Calculamos $P(T > 4)$:
\[P(T > 4) = e^{-\lambda \cdot 4} = e^{-(1/6) \cdot 4} = e^{-4/6} \approx e^{-0.667}\] \[P(T > 4) \approx 0.5134\]A probabilidade de o lampião durar pelo menos mais 4 horas é de 51,34%, independentemente do fato de já estar aceso há 6 horas.
- Probabilidade de durar > 8h: 26,36%
- Probabilidade de pelo menos 1 de 4 durar > 8h: 70,59%
- Mediana da vida útil: 4,16 horas
- Probabilidade de durar mais 4h (dado 6h): 51,34%
📞 Questão 3: Chamadas em um Call Center (Distribuição de Poisson)
Enunciado:
Um pequeno call center recebe chamadas a uma taxa média de 12 chamadas por hora. O número de chamadas recebidas segue uma distribuição de Poisson.
Pergunta-se:
- Qual a probabilidade de o call center receber exatamente 5 chamadas em um período de 30 minutos?
- Qual a probabilidade de nenhuma chamada ser recebida em um intervalo de 10 minutos?
- Qual a probabilidade de receber mais de 3 chamadas em um período de 20 minutos?
Resolução Detalhada
O número de eventos (chamadas) $X$ em um intervalo de tempo segue uma distribuição de Poisson. A fórmula da probabilidade de Poisson é:
\[P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}\]Nesta fórmula, o parâmetro $\lambda$ (lambda) representa a taxa média de ocorrências no intervalo de tempo específico que estamos analisando. A taxa base do problema é de 12 chamadas por hora, e devemos ajustá-la para cada item.
1. Probabilidade de exatamente 5 chamadas em 30 minutos
Primeiro, ajustamos a taxa para o intervalo de tempo desejado.
- Intervalo: $30 \text{ minutos} = 0.5 \text{ horas}$.
- Taxa média no intervalo ($\lambda$): $12 \text{ chamadas/hora} \times 0.5 \text{ horas} = 6$.
Agora, calculamos $P(X=5)$ para $\lambda=6$:
\[P(X=5) = \frac{e^{-6} \cdot 6^5}{5!}\] \[P(X=5) = \frac{0.002479 \cdot 7776}{120} \approx \frac{19.28}{120} \approx 0.1606\]A probabilidade de receber exatamente 5 chamadas em 30 minutos é de 16,06%.
2. Probabilidade de nenhuma chamada em 10 minutos
Ajustamos a taxa para o novo intervalo.
- Intervalo: $10 \text{ minutos} = 1/6 \text{ horas}$.
- Taxa média no intervalo ($\lambda$): $12 \times (1/6) = 2$.
Calculamos $P(X=0)$ para $\lambda=2$:
\[P(X=0) = \frac{e^{-2} \cdot 2^0}{0!} = e^{-2} \approx 0.1353\]A probabilidade de não receber nenhuma chamada em 10 minutos é de 13,53%.
3. Probabilidade de mais de 3 chamadas em 20 minutos
“Mais de 3 chamadas” é o complementar de “3 ou menos chamadas”.
\[P(X > 3) = 1 - P(X \le 3) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)]\]Ajustamos a taxa para o intervalo.
- Intervalo: $20 \text{ minutos} = 1/3 \text{ horas}$.
- Taxa média no intervalo ($\lambda$): $12 \times (1/3) = 4$.
Calculamos as probabilidades para $k=0, 1, 2, 3$ com $\lambda=4$:
- $P(X=0) = \frac{e^{-4} 4^0}{0!} \approx 0.0183$
- $P(X=1) = \frac{e^{-4} 4^1}{1!} \approx 0.0733$
- $P(X=2) = \frac{e^{-4} 4^2}{2!} \approx 0.1465$
- $P(X=3) = \frac{e^{-4} 4^3}{3!} \approx 0.1954$
Somando essas probabilidades:
\[P(X \le 3) \approx 0.0183 + 0.0733 + 0.1465 + 0.1954 = 0.4335\]Finalmente, calculamos o complementar:
\[P(X > 3) = 1 - 0.4335 = 0.5665\]A probabilidade de receber mais de 3 chamadas em 20 minutos é de 56,65%.
- Probabilidade de 5 chamadas em 30 min: 16,06%
- Probabilidade de 0 chamadas em 10 min: 13,53%
- Probabilidade de >3 chamadas em 20 min: 56,65%
📞 Questão 4: Duração das Chamadas (Distribuição Normal)
Enunciado:
A duração das chamadas de suporte técnico em um call center segue uma distribuição Normal com uma média ($\mu$) de 10 minutos e um desvio padrão ($\sigma$) de 2 minutos.
Pergunta-se:
- Qual a probabilidade de uma chamada durar menos de 7 minutos?
- Qual a probabilidade de uma chamada durar entre 9 e 12 minutos?
- Qual é a duração mínima das 5% chamadas mais longas?
Resolução Detalhada
A duração da chamada $X$ segue uma distribuição Normal, $X \sim N(\mu=10, \sigma=2)$. Para resolver, padronizamos os valores de $X$ para a distribuição Normal Padrão ($Z$) usando a fórmula do Z-score:
\[Z = \frac{X - \mu}{\sigma}\]1. Probabilidade de uma chamada durar menos de 7 minutos
Queremos encontrar $P(X < 7)$. Primeiro, calculamos o Z-score para $X=7$:
\[Z = \frac{7 - 10}{2} = \frac{-3}{2} = -1.5\]Agora, procuramos a probabilidade $P(Z < -1.5)$ em uma tabela Z ou usando uma calculadora.
\[P(Z < -1.5) \approx 0.0668\]A probabilidade de uma chamada durar menos de 7 minutos é de 6,68%.
2. Probabilidade de uma chamada durar entre 9 e 12 minutos
Queremos encontrar $P(9 < X < 12)$. Calculamos os Z-scores para $X=9$ e $X=12$:
- Para $X=9$: $Z_1 = \frac{9 - 10}{2} = -0.5$
- Para $X=12$: $Z_2 = \frac{12 - 10}{2} = 1.0$
A probabilidade é a área entre esses dois Z-scores: $P(-0.5 < Z < 1.0) = P(Z < 1.0) - P(Z < -0.5)$.
- $P(Z < 1.0) \approx 0.8413$
- $P(Z < -0.5) \approx 0.3085$
A probabilidade de uma chamada durar entre 9 e 12 minutos é de 53,28%.
3. Duração mínima das 5% chamadas mais longas
Queremos encontrar o valor $x$ tal que $P(X > x) = 0.05$. Isso é o mesmo que encontrar um Z-score, $z$, tal que $P(Z > z) = 0.05$, o que implica que $P(Z < z) = 0.95$. Consultando uma tabela Z inversa, o Z-score que corresponde a uma área de 0.95 à sua esquerda é aproximadamente $z \approx 1.645$.
Agora, convertemos esse Z-score de volta para minutos usando a fórmula rearranjada: $X = \mu + Z \cdot \sigma$.
\[x = 10 + (1.645 \cdot 2)\] \[x = 10 + 3.29 = 13.29 \text{ minutos}\]As 5% chamadas mais longas duram pelo menos 13,29 minutos.
- Probabilidade de chamada < 7 min: 6,68%
- Probabilidade de chamada entre 9 e 12 min: 53,28%
- Duração mínima das 5% chamadas mais longas: 13,29 minutos
🪁 Questão 5: Tentativas para Empinar Pipa (Distribuição Geométrica)
Enunciado:
Um entusiasta de pipas sabe que, devido às condições variáveis do vento, a probabilidade de conseguir empinar sua pipa em uma determinada tentativa é de 40% (p=0.4). Cada tentativa é independente da anterior.
Pergunta-se:
- Qual a probabilidade de ele conseguir empinar a pipa na primeira tentativa?
- Qual a probabilidade de serem necessárias exatamente 3 tentativas para o sucesso?
- Qual a probabilidade de serem necessárias mais de 4 tentativas?
Resolução Detalhada
Este problema descreve uma série de ensaios de Bernoulli independentes, onde estamos interessados no número de tentativas até o primeiro sucesso. Isso é modelado pela Distribuição Geométrica.
Seja $X$ o número de tentativas até o primeiro sucesso. A probabilidade de sucesso é $p=0.4$. A fórmula da distribuição geométrica é:
\[P(X = k) = (1-p)^{k-1} p\]1. Probabilidade de sucesso na primeira tentativa
Queremos encontrar $P(X=1)$. Usando a fórmula com $k=1$:
\[P(X=1) = (1-0.4)^{1-1} \cdot 0.4\] \[P(X=1) = (0.6)^0 \cdot 0.4 = 1 \cdot 0.4 = 0.4\]A probabilidade de sucesso na primeira tentativa é de 40%.
2. Probabilidade de sucesso na terceira tentativa
Queremos encontrar $P(X=3)$. Isso significa duas falhas seguidas de um sucesso.
\[P(X=3) = (1-0.4)^{3-1} \cdot 0.4\] \[P(X=3) = (0.6)^2 \cdot 0.4 = 0.36 \cdot 0.4 = 0.144\]A probabilidade de serem necessárias exatamente 3 tentativas é de 14,4%.
3. Probabilidade de precisar de mais de 4 tentativas
Queremos encontrar $P(X > 4)$. Isso significa que as primeiras 4 tentativas devem ser todas falhas. A probabilidade de uma única falha é $(1-p) = 0.6$.
\[P(X > 4) = P(\text{falha na 1ª}) \cdot P(\text{falha na 2ª}) \cdot P(\text{falha na 3ª}) \cdot P(\text{falha na 4ª})\] \[P(X > 4) = (1-p)^4 = (0.6)^4\] \[P(X > 4) = 0.1296\]A probabilidade de precisar de mais de 4 tentativas para empinar a pipa é de 12,96%.
- Probabilidade de sucesso na 1ª tentativa: 40%
- Probabilidade de sucesso na 3ª tentativa: 14,4%
- Probabilidade de precisar de > 4 tentativas: 12,96%
🪁 Questão 6: Múltiplos Sucessos com a Pipa (Binomial Negativa)
Enunciado:
O mesmo entusiasta de pipas, com uma probabilidade de sucesso de 40% em cada tentativa, agora quer conseguir empinar a pipa um total de 3 vezes para praticar uma manobra. As tentativas são independentes.
Pergunta-se:
- Qual a probabilidade de o terceiro sucesso ocorrer exatamente na quinta tentativa?
- Qual é o número esperado de tentativas que ele precisará fazer para alcançar os 3 sucessos?
Resolução Detalhada
Este problema busca o número de tentativas necessárias para alcançar um número fixo de sucessos ($r$). Isso é modelado pela Distribuição Binomial Negativa.
Seja $X$ o número da tentativa em que o $r$-ésimo sucesso ocorre. A fórmula é:
\[P(X = k) = \binom{k-1}{r-1} p^r (1-p)^{k-r}\]Onde $r=3$ (sucessos), $p=0.4$ (probabilidade de sucesso), e $k$ é o número total de tentativas.
1. Probabilidade do 3º sucesso na 5ª tentativa
Aqui, $r=3$ e $k=5$. Para que o 3º sucesso ocorra na 5ª tentativa, precisamos ter tido exatamente $r-1=2$ sucessos nas $k-1=4$ tentativas anteriores, e a 5ª tentativa deve ser um sucesso.
\[P(X=5) = \binom{5-1}{3-1} (0.4)^3 (1-0.4)^{5-3}\] \[P(X=5) = \binom{4}{2} (0.4)^3 (0.6)^2\]Calculando os termos:
- $\binom{4}{2} = \frac{4!}{2!2!} = 6$
- $(0.4)^3 = 0.064$
- $(0.6)^2 = 0.36$ Juntando os resultados:
A probabilidade de o terceiro sucesso ocorrer na quinta tentativa é de 13,82%.
2. Número esperado de tentativas
Para a distribuição binomial negativa, o valor esperado (ou média) do número de tentativas ($X$) para alcançar $r$ sucessos é dado pela fórmula:
\[E[X] = \frac{r}{p}\]Com $r=3$ e $p=0.4$:
\[E[X] = \frac{3}{0.4} = 7.5\]O número esperado de tentativas para conseguir empinar a pipa 3 vezes é 7.5.
Referências
- Ross, S. M. Introduction to Probability Models. 12ª ed. Academic Press, 2019.
- Papoulis, A.; Pillai, S. U. Probability, Random Variables and Stochastic Processes. 4ª ed. McGraw-Hill, 2002.
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications. Vol. 1, 3ª ed. Wiley, 1968.
- DeGroot, M. H.; Schervish, M. J. Probability and Statistics. 4ª ed. Pearson, 2012.
- Mood, A. M.; Graybill, F. A.; Boes, D. C. Introduction to the Theory of Statistics. 3ª ed. McGraw-Hill, 1974.