Pergunta
O que é uma função, como determinar seu domínio e imagem, e como operar com funções — incluindo composição, inversa, e os principais tipos que aparecem no Cálculo?
1) A ideia central (intuição + definição)
Uma função $f$ de $A$ em $B$ é uma regra que associa a cada elemento de $A$ exatamente um elemento de $B$:
\[f: A \to B, \quad x \mapsto f(x).\]- $A$ = domínio (conjunto de entradas permitidas).
- $B$ = contradomínio (conjunto de saídas possíveis declaradas).
- $\text{Im}(f)$ = imagem (conjunto das saídas que realmente ocorrem).
Notações importantes
| Símbolo | Significado |
|---|---|
| $f(x)$ | valor de $f$ no ponto $x$ |
| $\text{Dom}(f)$ | domínio de $f$ |
| $\text{Im}(f)$ | imagem de $f$ |
| $f \circ g$ | composição: $(f\circ g)(x)=f(g(x))$ |
| $f^{-1}$ | função inversa de $f$ |
Quando a regra não define uma função?
- Se um $x$ tiver mais de uma imagem (exemplo: raiz quadrada sem restrição de sinal no contradomínio).
- Se um $x$ não tiver imagem (ponto fora do domínio).
PARTE 01 — Domínio natural de uma função
Ideia
O domínio natural (ou maximal) é o maior subconjunto de $\mathbb{R}$ para o qual a expressão está definida. As restrições mais comuns são: denominador $\neq 0$, raiz de índice par $\geq 0$, logaritmo $> 0$.
Exemplo 1
$f(x) = \dfrac{1}{x-3}$
O denominador não pode ser zero:
\[x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3.\] \[\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{3\} = (-\infty, 3)\cup(3,+\infty).\]Exemplo 2
$f(x) = \sqrt{2x - 6}$
O radicando deve ser não-negativo:
\[2x - 6 \geq 0 \implies x \geq 3.\] \[\text{Dom}(f) = [3, +\infty).\]Exemplo 3
$f(x) = \dfrac{\sqrt{x+1}}{x-2}$
Duas restrições simultâneas:
\[x + 1 \geq 0 \implies x \geq -1,\] \[x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2.\] \[\text{Dom}(f) = [-1,\,2)\cup(2,+\infty).\]Exemplo 4
$f(x) = \ln(x^2 - 4)$
O argumento do logaritmo deve ser positivo:
\[x^2 - 4 > 0 \implies (x-2)(x+2) > 0 \implies x < -2 \text{ ou } x > 2.\] \[\text{Dom}(f) = (-\infty,-2)\cup(2,+\infty).\]Exemplo 5
$f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{9 - x^2}}$
Radicando positivo (denominador também $\neq 0$):
\[9 - x^2 > 0 \implies x^2 < 9 \implies -3 < x < 3.\] \[\text{Dom}(f) = (-3,\,3).\]PARTE 02 — Avaliação e operações básicas
Ideia
Avaliar $f(a)$ significa substituir $x$ por $a$ na expressão de $f$. As quatro operações básicas entre funções seguem as regras algébricas usuais.
Exemplo 1 — Avaliação simples
$f(x) = x^2 - 3x + 1$. Calcule $f(2)$, $f(-1)$ e $f(0)$.
\[\begin{aligned} f(2) &= 4 - 6 + 1 = -1,\\ f(-1) &= 1 + 3 + 1 = 5,\\ f(0) &= 0 - 0 + 1 = 1. \end{aligned}\]Exemplo 2 — Avaliação com expressão
$g(x) = 2x + 5$. Calcule $g(x+h)$.
\[g(x+h) = 2(x+h) + 5 = 2x + 2h + 5.\]Exemplo 3 — Quociente diferencial
$f(x) = x^2$. Calcule $\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ (para $h \neq 0$).
\[\begin{aligned} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} &= \frac{(x+h)^2 - x^2}{h}\\ &= \frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h}\\ &= \frac{2xh + h^2}{h}\\ &= 2x + h. \end{aligned}\]Este quociente é a base da definição de derivada — você verá isso na próxima série.
Exemplo 4 — Soma e produto de funções
$f(x) = x+1$, $g(x) = x^2 - 1$. Calcule $(f+g)(x)$ e $(f\cdot g)(x)$.
\[\begin{aligned} (f+g)(x) &= (x+1)+(x^2-1) = x^2 + x,\\ (f\cdot g)(x) &= (x+1)(x^2-1) = (x+1)(x-1)(x+1) = (x+1)^2(x-1). \end{aligned}\]Exemplo 5 — Quociente de funções e domínio
$f(x) = x^2 - 4$, $g(x) = x - 2$. Calcule $\left(\dfrac{f}{g}\right)(x)$ e seu domínio.
\[\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{x^2-4}{x-2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2, \quad x \neq 2.\] \[\text{Dom}\!\left(\tfrac{f}{g}\right) = \mathbb{R}\setminus\{2\}.\]PARTE 03 — Composição de funções
Fórmula
$(f \circ g)(x) = f\!\left(g(x)\right)$: primeiro aplique $g$, depois aplique $f$ ao resultado. Em geral, $f\circ g \neq g\circ f$.
Exemplo 1
$f(x)=x^2+1$, $g(x)=3x-2$. Calcule $(f\circ g)(x)$ e $(g\circ f)(x)$.
\[\begin{aligned} (f\circ g)(x) &= f(g(x)) = f(3x-2) = (3x-2)^2+1 = 9x^2-12x+5,\\ (g\circ f)(x) &= g(f(x)) = g(x^2+1) = 3(x^2+1)-2 = 3x^2+1. \end{aligned}\]Como $9x^2-12x+5 \neq 3x^2+1$, a composição não é comutativa.
Exemplo 2
$f(x)=\sqrt{x}$, $g(x)=x^2+4$. Calcule $(f\circ g)(3)$.
\[\begin{aligned} g(3) &= 9+4 = 13,\\ (f\circ g)(3) &= f(13) = \sqrt{13}. \end{aligned}\]Exemplo 3 — Decomposição
Escreva $h(x) = (2x+1)^5$ como composição $f\circ g$.
Escolha $g(x) = 2x+1$ e $f(x) = x^5$:
\[(f\circ g)(x) = f(2x+1) = (2x+1)^5 = h(x). \checkmark\]Exemplo 4
$f(x) = \dfrac{1}{x}$, $g(x) = x+3$. Calcule $(f\circ g)(x)$ e seu domínio.
\[(f\circ g)(x) = f(x+3) = \frac{1}{x+3}, \quad x \neq -3.\]Exemplo 5 — Tripla composição
$f(x)=2x$, $g(x)=x+1$, $h(x)=x^2$. Calcule $(f\circ g\circ h)(x)$.
\[\begin{aligned} (g\circ h)(x) &= g(h(x)) = g(x^2) = x^2+1,\\ (f\circ g\circ h)(x) &= f(x^2+1) = 2(x^2+1) = 2x^2+2. \end{aligned}\]PARTE 04 — Função inversa
Chave
$f^{-1}$ existe quando $f$ é bijetora (injetora e sobrejetora). Para encontrá-la: escreva $y = f(x)$, isole $x$ em função de $y$ e troque os nomes ($x \leftrightarrow y$). Verifique que $(f\circ f^{-1})(x)=x$.
Exemplo 1
$f(x) = 2x + 3$. Encontre $f^{-1}(x)$.
\[\begin{aligned} y &= 2x+3\\ 2x &= y-3\\ x &= \frac{y-3}{2} \end{aligned} \implies f^{-1}(x) = \frac{x-3}{2}.\]Verificação: $f(f^{-1}(x)) = 2\cdot\dfrac{x-3}{2}+3 = x-3+3 = x$. $\checkmark$
Exemplo 2
$f(x) = x^3 - 1$. Encontre $f^{-1}(x)$.
\[\begin{aligned} y &= x^3-1\\ x^3 &= y+1\\ x &= \sqrt[3]{y+1} \end{aligned} \implies f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x+1}.\]Exemplo 3
$f(x) = \dfrac{x+2}{x-1}$, $x\neq 1$. Encontre $f^{-1}(x)$.
\[\begin{aligned} y(x-1) &= x+2\\ yx - y &= x+2\\ yx - x &= y+2\\ x(y-1) &= y+2\\ x &= \frac{y+2}{y-1} \end{aligned} \implies f^{-1}(x) = \frac{x+2}{x-1}, \quad x\neq 1.\]Esta função é sua própria inversa — chamamos isso de involução.
Exemplo 4
$f(x) = e^{x-2}$. Encontre $f^{-1}(x)$.
\[\begin{aligned} y &= e^{x-2}\\ \ln y &= x-2\\ x &= \ln y + 2 \end{aligned} \implies f^{-1}(x) = \ln x + 2, \quad x > 0.\]Exemplo 5
$f(x) = \sqrt{x-1}$, $x \geq 1$. Encontre $f^{-1}(x)$.
\[\begin{aligned} y &= \sqrt{x-1}\\ y^2 &= x-1\\ x &= y^2+1 \end{aligned} \implies f^{-1}(x) = x^2+1, \quad x \geq 0.\]PARTE 05 — Funções pares e ímpares
Definições
Par: $f(-x)=f(x)$ para todo $x$ no domínio — simetria em relação ao eixo $y$.
Ímpar: $f(-x)=-f(x)$ para todo $x$ no domínio — simetria em relação à origem.
Exemplo 1
$f(x) = x^2 + 4$. Par, ímpar ou nenhum?
\[f(-x) = (-x)^2 + 4 = x^2 + 4 = f(x). \implies \textbf{Par}.\]Exemplo 2
$f(x) = x^3 - 2x$. Par, ímpar ou nenhum?
\[f(-x) = (-x)^3 - 2(-x) = -x^3 + 2x = -(x^3-2x) = -f(x). \implies \textbf{Ímpar}.\]Exemplo 3
$f(x) = x^2 + x$. Par, ímpar ou nenhum?
\[\begin{aligned} f(-x) &= (-x)^2+(-x) = x^2-x.\\ f(-x) &\neq f(x) \quad\text{e}\quad f(-x) \neq -f(x). \end{aligned} \implies \textbf{Nenhum}.\]Exemplo 4
$f(x) = \cos x$. Par, ímpar ou nenhum?
\[f(-x) = \cos(-x) = \cos x = f(x). \implies \textbf{Par}.\]Exemplo 5
$f(x) = \sin x$. Par, ímpar ou nenhum?
\[f(-x) = \sin(-x) = -\sin x = -f(x). \implies \textbf{Ímpar}.\]PARTE 06 — Funções por partes (definidas em ramos)
Ideia
Uma função por partes usa regras diferentes em subconjuntos do domínio. Para avaliar, identifique em qual ramo o valor $x$ se enquadra e aplique a fórmula correspondente.
Exemplo 1
\(f(x) = \begin{cases} x^2, & x < 0\\ 2x+1, & x \geq 0 \end{cases}\)
Calcule $f(-3)$, $f(0)$ e $f(4)$.
\[\begin{aligned} f(-3) &= (-3)^2 = 9,\\ f(0) &= 2(0)+1 = 1,\\ f(4) &= 2(4)+1 = 9. \end{aligned}\]Exemplo 2 — Valor absoluto como função por partes
$f(x) = |x - 2|$. Escreva sem o módulo e avalie $f(5)$ e $f(-1)$.
\[|x-2| = \begin{cases} x-2, & x \geq 2\\ -(x-2) = 2-x, & x < 2 \end{cases}\] \[f(5) = 5-2 = 3, \quad f(-1) = 2-(-1) = 3.\]Exemplo 3 — Continuidade em ponto de junção
\(g(x) = \begin{cases} 3x-1, & x < 2\\ ax+3, & x \geq 2 \end{cases}\)
Determine $a$ para que $g$ seja contínua em $x=2$.
Para continuidade: $\lim_{x\to 2^-}g(x) = \lim_{x\to 2^+}g(x)$.
\[\begin{aligned} \lim_{x\to 2^-}(3x-1) &= 5,\\ \lim_{x\to 2^+}(ax+3) &= 2a+3. \end{aligned}\] \[5 = 2a+3 \implies a = 1.\]Exemplo 4 — Função de Heaviside
A função degrau (Heaviside) é:
\[H(x) = \begin{cases} 0, & x < 0\\ 1, & x \geq 0 \end{cases}\]Calcule $H(-5)$, $H(0)$, $H(3)$ e $2H(x-1)$.
\[H(-5)=0, \quad H(0)=1, \quad H(3)=1.\]$2H(x-1) = 0$ se $x < 1$ e $2$ se $x \geq 1$.
Exemplo 5 — Simplificação de função módulo
$f(x) = \dfrac{|x^2-1|}{x+1}$, $x \neq -1$. Simplifique para $x > 1$ e para $-1 < x < 1$.
| Para $x > 1$: $x^2-1 > 0$, então $ | x^2-1 | =x^2-1=(x-1)(x+1)$. |
| Para $-1 < x < 1$: $x^2-1 < 0$, então $ | x^2-1 | =1-x^2=(1-x)(1+x)$. |
PARTE 07 — Tipos fundamentais de funções no Cálculo
Galeria rápida
Conheça as famílias de funções que aparecem em derivadas, integrais e limites. Saber reconhecê-las de imediato economiza muito tempo.
Linear: $f(x) = mx + b$
- Domínio: $\mathbb{R}$. Imagem: $\mathbb{R}$.
- Gráfico: reta com inclinação $m$ e intercepto $b$.
Exemplo: $f(x) = -2x + 5$. Zeros: $x = \tfrac{5}{2}$. Valor em $x=3$: $f(3)=-1$.
Quadrática: $f(x) = ax^2 + bx + c$, $a \neq 0$
- Vértice em $x_v = -\dfrac{b}{2a}$, $y_v = f(x_v)$.
- Parábola para cima se $a > 0$, para baixo se $a < 0$.
Exemplo: $f(x)=x^2-4x+3$. Vértice: $x_v = 2$, $y_v = 4-8+3=-1$. Zeros: $x=1$ e $x=3$.
Potência: $f(x) = x^n$
- $n$ par $\Rightarrow$ par, mínimo em $x=0$.
- $n$ ímpar $\Rightarrow$ ímpar, crescente em $\mathbb{R}$.
- $n < 0$ $\Rightarrow$ hipérbole, domínio $\mathbb{R}\setminus{0}$.
Exponencial: $f(x) = a^x$, $a > 0$, $a \neq 1$
- Domínio: $\mathbb{R}$. Imagem: $(0,+\infty)$.
- $a > 1$: crescente. $0 < a < 1$: decrescente.
- $f(x) > 0$ para todo $x$.
Logarítmica: $f(x) = \log_a x$
- Domínio: $(0,+\infty)$. Imagem: $\mathbb{R}$.
- Inversa da exponencial: $\log_a(a^x) = x$.
- $\ln x = \log_e x$ (logaritmo natural, base $e \approx 2{,}718$).
Trigonométricas principais
| Função | Domínio | Imagem | Período |
|---|---|---|---|
| $\sin x$ | $\mathbb{R}$ | $[-1,1]$ | $2\pi$ |
| $\cos x$ | $\mathbb{R}$ | $[-1,1]$ | $2\pi$ |
| $\tan x$ | $\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi,\ k\in\mathbb{Z}\right\}$ | $\mathbb{R}$ | $\pi$ |
Referência rápida (para revisar em 30 segundos)
- Domínio: elimine denominadores nulos, radicandos negativos (índice par) e argumentos de $\log \leq 0$.
- Composição: $(f\circ g)(x) = f(g(x))$ — da direita para a esquerda.
- Inversa: troque $x \leftrightarrow y$ e isole. Só existe se $f$ for bijetora.
- Par: $f(-x)=f(x)$ — simetria no eixo $y$.
- Ímpar: $f(-x)=-f(x)$ — simetria na origem.
- Quociente diferencial $\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$: base da derivada (próximo artigo).
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