Pergunta
O que significa “limite” em Cálculo, quais são as principais notações/símbolos, e como resolver os tipos mais comuns de limites passo a passo?
1) A ideia central (intuição + fórmula)
Quando escrevemos
\[\lim_{x\to a} f(x)=L,\]estamos dizendo: “quando $x$ se aproxima de $a$, os valores de $f(x)$ se aproximam de $L$”.
Notações e símbolos (o que cada coisa quer dizer)
- $\lim$: operador “limite”.
- $x\to a$: “$x$ tende a $a$” (aproxima-se de $a$).
- $f(x)$: função.
- $L$: valor-limite (o “número alvo”).
- $\to$: “tende a”.
- $\infty$: infinito (cresce sem bound).
- $a^-$ e $a^+$:
- $\lim_{x\to a^-} f(x)$: limite pela esquerda (valores menores que $a$).
- $\lim_{x\to a^+} f(x)$: limite pela direita (valores maiores que $a$).
Quando o limite “existe” (regra prática)
O limite bilateral existe se e somente se:
\[\lim_{x\to a^-} f(x)=\lim_{x\to a^+} f(x)=L.\]Se der valores diferentes, o limite bilateral não existe.
2) Formas indeterminadas
Quando você calcula um limite por substituição direta, podem acontecer dois cenários:
- Sai um número “normal” (ex.: $7$, $\frac{2}{3}$, $\sqrt{5}$) $\Rightarrow$ o limite geralmente está resolvido.
- Sai uma forma indeterminada $\Rightarrow$ o resultado ainda não está definido, porque depende de simplificar/transformar a expressão.
O que é indeterminação?
Uma indeterminação é uma forma que, sozinha, não determina o valor do limite.
O exemplo mais comum é:
- $\displaystyle \frac{0}{0}$
Aqui, não dá para concluir nada, porque:
- numerador $\to 0$ e denominador $\to 0$,
- mas a “velocidade” com que cada um vai a zero pode ser diferente.
Exemplo-relâmpago (para ver por que não dá para decidir só olhando):
1) \(\begin{aligned} \lim_{x\to 1}\frac{x-1}{x-1} &=\lim_{x\to 1}1\\ &=1 \end{aligned}\)
2) \(\begin{aligned} \lim_{x\to 1}\frac{(x-1)^2}{x-1} &=\lim_{x\to 1}(x-1)\\ &=0 \end{aligned}\)
3) \(\begin{aligned} \lim_{x\to 1}\frac{x-1}{(x-1)^2} &=\lim_{x\to 1}\frac{1}{x-1}\\ &\text{não existe (diverge)} \end{aligned}\)
Nos três casos, a substituição direta dá $\frac{0}{0}$, mas os limites são diferentes.
Por isso $\frac{0}{0}$ é indeterminação.
As indeterminações mais comuns
-
$\displaystyle \frac{0}{0}$
-
$\displaystyle \frac{\infty}{\infty}$
Outras (que aparecem depois, quando você avançar um pouco mais):
-
$0\cdot\infty$
-
$\infty-\infty$
-
$0^0$, $1^\infty$, $\infty^0$
O que fazer quando aparecer indeterminação?
Você precisa transformar a expressão até ela deixar de ser indeterminada, usando técnicas como:
- fatoração e cancelamento,
- racionalização,
- termo em evidência,
- identidades trigonométricas,
- (mais adiante) regra de L’Hôpital.
A regra de ouro é:
Indeterminação não é resposta. É um sinal de que você precisa simplificar.
3) Técnicas que você vai usar o tempo todo (mini-resumo)
- Substituição direta (quando $f$ é contínua no ponto).
- Fatoração (diferença de dois quadrados / trinômio do 2º grau).
- Termo em evidência (colocar $x$ ou $x^n$ em evidência e cancelar).
- Limites trigonométricos fundamentais:
- $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$
- $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac12$
- Limites laterais (esquerda/direita).
- Limites no infinito (grau do polinômio / dividir pelo maior grau / racionalizar).
PARTE 01 — Substituição direta (quando dá para “trocar”)
Ideia
Se $f$ é contínua em $a$, então $\displaystyle \lim_{x\to a} f(x)=f(a)$. Aqui, substituir direto funciona.
Exemplo 1
Calcule $\displaystyle \lim_{x\to 2}(3x^2-5x+1)$.
\[\begin{aligned} \lim_{x\to 2}(3x^2-5x+1) &=3(2)^2-5(2)+1\\ &=3\cdot 4-10+1\\ &=12-10+1\\ &=3 \end{aligned}\]Exemplo 2
Calcule $\displaystyle \lim_{x\to -1}(x^3+4x^2-2x+7)$.
\[\begin{aligned} \lim_{x\to -1}(x^3+4x^2-2x+7) &=(-1)^3+4(-1)^2-2(-1)+7\\ &=-1+4\cdot 1+2+7\\ &=-1+4+2+7\\ &=12 \end{aligned}\]Exemplo 3
Calcule $\displaystyle \lim_{x\to 9}\left(\sqrt{x}+\frac{1}{x}\right)$.
\[\begin{aligned} \lim_{x\to 9}\left(\sqrt{x}+\frac{1}{x}\right) &=\sqrt{9}+\frac{1}{9}\\ &=3+\frac{1}{9}\\ &=\frac{27}{9}+\frac{1}{9}\\ &=\frac{28}{9} \end{aligned}\]Exemplo 4
Calcule $\displaystyle \lim_{x\to \pi/6}(2\sin x-1)$.
\[\begin{aligned} \lim_{x\to \pi/6}(2\sin x-1) &=2\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)-1\\ &=2\cdot \frac12-1\\ &=1-1\\ &=0 \end{aligned}\]Exemplo 5
Calcule $\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{x^2+1}{x+2}$.
\[\begin{aligned} \lim_{x\to 1}\frac{x^2+1}{x+2} &=\frac{1^2+1}{1+2}\\ &=\frac{2}{3} \end{aligned}\]PARTE 02 — Diferença de dois quadrados
Chave
Use $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ para cancelar o fator que zera (normalmente dá $0/0$).
Exemplo 1
$\displaystyle \lim_{x\to 3}\frac{x^2-9}{x-3}$
\[\begin{aligned} \lim_{x\to 3}\frac{x^2-9}{x-3} &=\lim_{x\to 3}\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}\\ &=\lim_{x\to 3}(x+3)\\ &=3+3\\ &=6 \end{aligned}\]Exemplo 2
$\displaystyle \lim_{x\to 5}\frac{x^2-25}{x-5}$
\[\begin{aligned} \lim_{x\to 5}\frac{x^2-25}{x-5} &=\lim_{x\to 5}\frac{(x-5)(x+5)}{x-5}\\ &=\lim_{x\to 5}(x+5)\\ &=10 \end{aligned}\]Exemplo 3
$\displaystyle \lim_{x\to -2}\frac{x^2-4}{x+2}$
\[\begin{aligned} \lim_{x\to -2}\frac{x^2-4}{x+2} &=\lim_{x\to -2}\frac{(x-2)(x+2)}{x+2}\\ &=\lim_{x\to -2}(x-2)\\ &=-2-2\\ &=-4 \end{aligned}\]Exemplo 4
$\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{1-x^2}{1-x}$
\[\begin{aligned} \lim_{x\to 1}\frac{1-x^2}{1-x} &=\lim_{x\to 1}\frac{(1-x)(1+x)}{1-x}\\ &=\lim_{x\to 1}(1+x)\\ &=1+1\\ &=2 \end{aligned}\]Exemplo 5
$\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{4-x^2}{2-x}$
\[\begin{aligned} \lim_{x\to 2}\frac{4-x^2}{2-x} &=\lim_{x\to 2}\frac{(2-x)(2+x)}{2-x}\\ &=\lim_{x\to 2}(2+x)\\ &=2+2\\ &=4 \end{aligned}\]PARTE 03 — Seno e Cosseno (limites trigonométricos)
Fórmulas-base
$\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ e $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac12$. A partir delas, você resolve quase tudo com substituições e manipulações.
Exemplo 1
$\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}$
\[\begin{aligned} \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} &=1 \end{aligned}\]Exemplo 2
$\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin(5x)}{x}$
\[\begin{aligned} \lim_{x\to 0}\frac{\sin(5x)}{x} &=\lim_{x\to 0}\left(5\cdot\frac{\sin(5x)}{5x}\right)\\ &=5\cdot \lim_{x\to 0}\frac{\sin(5x)}{5x}\\ &=5\cdot 1\\ &=5 \end{aligned}\]Exemplo 3
$\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}$
\[\begin{aligned} \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2} &=\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}\cdot\frac{1+\cos x}{1+\cos x}\\ &=\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos^2 x}{x^2(1+\cos x)}\\ &=\lim_{x\to 0}\frac{\sin^2 x}{x^2(1+\cos x)}\\ &=\lim_{x\to 0}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2\cdot \frac{1}{1+\cos x}\\ &=1^2\cdot \frac{1}{1+1}\\ &=\frac{1}{2} \end{aligned}\]Exemplo 4
$\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(3x)}{x^2}$
\[\begin{aligned} \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(3x)}{x^2} &=\lim_{x\to 0}\left(\frac{1-\cos(3x)}{(3x)^2}\right)\cdot 9\\ &=9\cdot \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(3x)}{(3x)^2}\\ &=9\cdot \frac{1}{2}\\ &=\frac{9}{2} \end{aligned}\]Exemplo 5
$\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}$
\[\begin{aligned} \lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x} &=\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x\cos x}\\ &=\lim_{x\to 0}\left(\frac{\sin x}{x}\right)\cdot\left(\frac{1}{\cos x}\right)\\ &=1\cdot \frac{1}{1}\\ &=1 \end{aligned}\]PARTE 04 — Trinômio de segundo grau (fatoração)
Chave
Quando aparece um polinômio do tipo $x^2+bx+c$, fatorar em $(x-r_1)(x-r_2)$ costuma revelar o fator que cancela e remove o $0/0$.
Exemplo 1
$\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{x^2-3x+2}{x-1}$
\[\begin{aligned} \lim_{x\to 1}\frac{x^2-3x+2}{x-1} &=\lim_{x\to 1}\frac{(x-1)(x-2)}{x-1}\\ &=\lim_{x\to 1}(x-2)\\ &=1-2\\ &=-1 \end{aligned}\]Exemplo 2
$\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{x^2-5x+6}{x-2}$
\[\begin{aligned} \lim_{x\to 2}\frac{x^2-5x+6}{x-2} &=\lim_{x\to 2}\frac{(x-2)(x-3)}{x-2}\\ &=\lim_{x\to 2}(x-3)\\ &=2-3\\ &=-1 \end{aligned}\]Exemplo 3
$\displaystyle \lim_{x\to -1}\frac{x^2+x}{x+1}$
\[\begin{aligned} \lim_{x\to -1}\frac{x^2+x}{x+1} &=\lim_{x\to -1}\frac{x(x+1)}{x+1}\\ &=\lim_{x\to -1}x\\ &=-1 \end{aligned}\]Exemplo 4
$\displaystyle \lim_{x\to 3}\frac{x^2-6x+9}{x-3}$
\[\begin{aligned} \lim_{x\to 3}\frac{x^2-6x+9}{x-3} &=\lim_{x\to 3}\frac{(x-3)^2}{x-3}\\ &=\lim_{x\to 3}(x-3)\\ &=3-3\\ &=0 \end{aligned}\]Exemplo 5
$\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{x^2+2x-3}{x-1}$
\[\begin{aligned} \lim_{x\to 1}\frac{x^2+2x-3}{x-1} &=\lim_{x\to 1}\frac{(x+3)(x-1)}{x-1}\\ &=\lim_{x\to 1}(x+3)\\ &=1+3\\ &=4 \end{aligned}\]PARTE 05 — Termo em evidência (fator comum)
Chave
Se dá $0/0$, procure fator comum (como $x$, $x^2$, $x-2$, etc.). Coloque em evidência, cancele e só então substitua.
Exemplo 1
$\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{x^2+x}{x}$
\[\begin{aligned} \lim_{x\to 0}\frac{x^2+x}{x} &=\lim_{x\to 0}\frac{x(x+1)}{x}\\ &=\lim_{x\to 0}(x+1)\\ &=0+1\\ &=1 \end{aligned}\]Exemplo 2
$\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{x^3-4x}{x}$
\[\begin{aligned} \lim_{x\to 0}\frac{x^3-4x}{x} &=\lim_{x\to 0}\frac{x(x^2-4)}{x}\\ &=\lim_{x\to 0}(x^2-4)\\ &=0^2-4\\ &=-4 \end{aligned}\]Exemplo 3
$\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{x^3-x^2}{x^2}$
\[\begin{aligned} \lim_{x\to 0}\frac{x^3-x^2}{x^2} &=\lim_{x\to 0}\frac{x^2(x-1)}{x^2}\\ &=\lim_{x\to 0}(x-1)\\ &=0-1\\ &=-1 \end{aligned}\]Exemplo 4
$\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{x^2-2x}{x-2}$
\[\begin{aligned} \lim_{x\to 2}\frac{x^2-2x}{x-2} &=\lim_{x\to 2}\frac{x(x-2)}{x-2}\\ &=\lim_{x\to 2}x\\ &=2 \end{aligned}\]Exemplo 5
$\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{7x^4-x^2}{x^2}$
\[\begin{aligned} \lim_{x\to 0}\frac{7x^4-x^2}{x^2} &=\lim_{x\to 0}\frac{x^2(7x^2-1)}{x^2}\\ &=\lim_{x\to 0}(7x^2-1)\\ &=7\cdot 0^2-1\\ &=-1 \end{aligned}\]PARTE 06 — Limites laterais (esquerda e direita)
Chave
Se a função muda de “regra” perto do ponto (módulo, frações com sinal, função por partes, domínio), calcule $\lim_{x\to a^-}$ e $\lim_{x\to a^+}$ separadamente.
Exemplo 1
$\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{|x|}{x}$
| Pela direita ($x\to 0^+$, então $x>0\Rightarrow | x | =x$): |
| Pela esquerda ($x\to 0^-$, então $x<0\Rightarrow | x | =-x$): |
Como $1\neq -1$, o limite bilateral não existe.
Exemplo 2
$\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{1}{x-1}$
Pela esquerda ($x\to 1^-\Rightarrow x-1<0$):
\[\begin{aligned} \lim_{x\to 1^-}\frac{1}{x-1} &=-\infty \end{aligned}\]Pela direita ($x\to 1^+\Rightarrow x-1>0$):
\[\begin{aligned} \lim_{x\to 1^+}\frac{1}{x-1} &=+\infty \end{aligned}\]Como divergem para infinitos “diferentes”, o limite bilateral não existe.
Exemplo 3
$\displaystyle \lim_{x\to 4}\sqrt{4-x}$ (no conjunto dos reais)
O domínio exige $4-x\ge 0\Rightarrow x\le 4$.
Então só faz sentido aproximar por esquerda.
Pela direita ($x>4$), $\sqrt{4-x}$ não é real.
Logo, o limite bilateral (em $\mathbb{R}$) não existe.
Exemplo 4 (função por partes)
Considere
\[f(x)= \begin{cases} x^2+1, & x<2\\ 5-x, & x\ge 2 \end{cases}\]Calcule $\displaystyle \lim_{x\to 2} f(x)$.
Pela esquerda:
\[\begin{aligned} \lim_{x\to 2^-}f(x) &=\lim_{x\to 2^-}(x^2+1)\\ &=2^2+1\\ &=5 \end{aligned}\]Pela direita:
\[\begin{aligned} \lim_{x\to 2^+}f(x) &=\lim_{x\to 2^+}(5-x)\\ &=5-2\\ &=3 \end{aligned}\]Como $5\neq 3$, o limite bilateral não existe.
Exemplo 5 (limite existe e “conserta” o ponto)
Defina
\[g(x)= \begin{cases} \dfrac{x^2-1}{x-1}, & x\ne 1\\ 2, & x=1 \end{cases}\]Calcule $\displaystyle \lim_{x\to 1} g(x)$.
\[\begin{aligned} \lim_{x\to 1}g(x) &=\lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}\\ &=\lim_{x\to 1}\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}\\ &=\lim_{x\to 1}(x+1)\\ &=1+1\\ &=2 \end{aligned}\]Como o limite dá $2$ e $g(1)=2$, a função ficou contínua em $x=1$.
PARTE 07 — Limites no infinito ($x\to \infty$ / $x\to -\infty$)
Chave
Para frações com polinômios, compare graus e/ou divida tudo pelo maior grau. Para raízes, às vezes é melhor racionalizar.
Exemplo 1
$\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{3x^2+1}{x^2-5x}$
\[\begin{aligned} \lim_{x\to \infty}\frac{3x^2+1}{x^2-5x} &=\lim_{x\to \infty}\frac{\frac{3x^2}{x^2}+\frac{1}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2}-\frac{5x}{x^2}}\\ &=\lim_{x\to \infty}\frac{3+\frac{1}{x^2}}{1-\frac{5}{x}}\\ &=\frac{3+0}{1-0}\\ &=3 \end{aligned}\]Exemplo 2
$\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{5x-2}{2x^2+1}$
\[\begin{aligned} \lim_{x\to \infty}\frac{5x-2}{2x^2+1} &=\lim_{x\to \infty}\frac{\frac{5x}{x^2}-\frac{2}{x^2}}{\frac{2x^2}{x^2}+\frac{1}{x^2}}\\ &=\lim_{x\to \infty}\frac{\frac{5}{x}-\frac{2}{x^2}}{2+\frac{1}{x^2}}\\ &=\frac{0-0}{2+0}\\ &=0 \end{aligned}\]Exemplo 3
$\displaystyle \lim_{x\to -\infty}\frac{2x^3-x}{x^3+4}$
\[\begin{aligned} \lim_{x\to -\infty}\frac{2x^3-x}{x^3+4} &=\lim_{x\to -\infty}\frac{\frac{2x^3}{x^3}-\frac{x}{x^3}}{\frac{x^3}{x^3}+\frac{4}{x^3}}\\ &=\lim_{x\to -\infty}\frac{2-\frac{1}{x^2}}{1+\frac{4}{x^3}}\\ &=\frac{2-0}{1+0}\\ &=2 \end{aligned}\]Exemplo 4 (racionalização)
$\displaystyle \lim_{x\to \infty}\left(\sqrt{x^2+4x}-x\right)$
\[\begin{aligned} \lim_{x\to \infty}\left(\sqrt{x^2+4x}-x\right) &=\lim_{x\to \infty}\left(\sqrt{x^2+4x}-x\right)\cdot\frac{\sqrt{x^2+4x}+x}{\sqrt{x^2+4x}+x}\\ &=\lim_{x\to \infty}\frac{(x^2+4x)-x^2}{\sqrt{x^2+4x}+x}\\ &=\lim_{x\to \infty}\frac{4x}{\sqrt{x^2+4x}+x}\\ &=\lim_{x\to \infty}\frac{4}{\sqrt{1+\frac{4}{x}}+1}\\ &=\frac{4}{\sqrt{1+0}+1}\\ &=\frac{4}{2}\\ &=2 \end{aligned}\]Exemplo 5
$\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{x^2+3}{\sqrt{x^4+1}}$
\[\begin{aligned} \lim_{x\to \infty}\frac{x^2+3}{\sqrt{x^4+1}} &=\lim_{x\to \infty}\frac{x^2\left(1+\frac{3}{x^2}\right)}{\sqrt{x^4\left(1+\frac{1}{x^4}\right)}}\\ &=\lim_{x\to \infty}\frac{x^2\left(1+\frac{3}{x^2}\right)}{|x^2|\sqrt{1+\frac{1}{x^4}}}\\ &=\lim_{x\to \infty}\frac{x^2\left(1+\frac{3}{x^2}\right)}{x^2\sqrt{1+\frac{1}{x^4}}}\\ &=\lim_{x\to \infty}\frac{1+\frac{3}{x^2}}{\sqrt{1+\frac{1}{x^4}}}\\ &=\frac{1+0}{\sqrt{1+0}}\\ &=1 \end{aligned}\]Referência rápida (para revisar em 30 segundos)
- Se substituição direta não dá problema: substitua.
- Se apareceu $0/0$: fatore e cancele o fator que zera.
- Diferença de quadrados: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.
- Trigonométricos: $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ e $\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac12$.
- Laterais: calcule $\lim_{x\to a^-}$ e $\lim_{x\to a^+}$. Se forem diferentes, não existe limite bilateral.
- No infinito: compare graus (divida pelo maior grau) e, se tiver raiz, considere racionalizar.