Pergunta
Antes de resolver equações, fatorar expressões ou estudar funções, será que entendemos a linguagem usada pela álgebra?
Por que estudar a linguagem da álgebra?
Muitas pessoas dizem que álgebra é apenas “matemática com letras”.
Mas essa definição é incompleta.
A álgebra usa letras, números e operações para representar relações gerais. Em vez de estudar apenas casos particulares, ela permite escrever padrões, fórmulas, identidades e equações de forma mais ampla.
Por exemplo, na aritmética podemos calcular:
\[3\cdot 5 + 2 = 17.\]Na álgebra, podemos escrever:
\[3x + 2.\]Agora, o valor depende de $x$.
Se:
\[x=5,\]temos:
\[3x+2=3\cdot 5+2=17.\]Mas se:
\[x=10,\]então:
\[3x+2=3\cdot 10+2=32.\]A mesma expressão representa muitos valores possíveis.
A álgebra é uma linguagem matemática usada para representar quantidades variáveis, relações gerais e estruturas que vão além de contas específicas.
O que é uma expressão algébrica?
Uma expressão algébrica é uma combinação de números, letras e operações matemáticas.
Exemplos:
\[3x+5\] \[2a^2-4a+7\] \[5xy-3x^2\]Nessas expressões, aparecem letras como $x$, $a$ e $y$. Essas letras representam valores que podem variar ou valores desconhecidos.
Por isso, elas são chamadas de variáveis.
Variável, coeficiente e constante
Vamos observar a expressão:
\[4x+7.\]Ela possui duas partes principais:
| Parte | Nome | Significado |
|---|---|---|
| $x$ | variável | valor que pode mudar |
| $4$ | coeficiente | número que multiplica a variável |
| $7$ | constante | número sem variável |
Na expressão:
\[-5a^2+3a-9,\]temos:
| Termo | Coeficiente | Parte literal |
|---|---|---|
| $-5a^2$ | $-5$ | $a^2$ |
| $3a$ | $3$ | $a$ |
| $-9$ | $-9$ | não possui |
A parte literal é a parte formada pelas letras e seus expoentes.
Por exemplo, no termo:
\[8x^2y^3,\]o coeficiente é:
\[8,\]e a parte literal é:
\[x^2y^3.\]O que é um monômio?
Um monômio é uma expressão algébrica formada por apenas um termo.
Exemplos:
\[7x\] \[-3a^2\] \[5xy\] \[\frac{2}{3}x^4y\]De forma geral, podemos pensar em um monômio como:
\[\boxed{ \text{monômio} = \text{coeficiente} \cdot \text{parte literal} }\]Por exemplo:
\[9x^2y.\]Aqui:
| Elemento | Valor |
|---|---|
| Coeficiente | $9$ |
| Parte literal | $x^2y$ |
| Variáveis | $x$ e $y$ |
Grau de um monômio
O grau de um monômio é dado pela soma dos expoentes de suas variáveis.
Por exemplo:
\[5x^3\]tem grau:
\[3.\]Já:
\[7x^2y^4\]tem grau:
\[2+4=6.\]Portanto, o monômio:
\[7x^2y^4\]é de grau $6$.
Quando uma variável aparece sem expoente escrito, o expoente é $1$. Assim, em $3xy^2$, temos $x^1y^2$, e o grau é $1+2=3$.
O que é um polinômio?
Um polinômio é uma soma algébrica de monômios.
Exemplo:
\[3x^2+2x-7.\]Esse polinômio possui três termos:
\[3x^2,\] \[2x,\]e
\[-7.\]Cada termo é um monômio.
Portanto, um polinômio pode ser visto como uma expressão formada por vários monômios somados ou subtraídos.
Classificação pelo número de termos
Uma das formas mais comuns de classificar expressões algébricas é pelo número de termos.
| Nome | Quantidade de termos | Exemplo |
|---|---|---|
| Monômio | 1 termo | $5x^2$ |
| Binômio | 2 termos | $x+3$ |
| Trinômio | 3 termos | $x^2+5x+6$ |
| Polinômio | 1 ou mais termos | $4x^3-2x^2+x-9$ |
Todo monômio, binômio e trinômio também pode ser chamado de polinômio.
Mas, na prática, usamos nomes diferentes para destacar a quantidade de termos.
Grau de um polinômio
O grau de um polinômio é o maior grau entre seus termos.
Considere:
\[4x^3+2x^2-x+9.\]Os graus dos termos são:
| Termo | Grau |
|---|---|
| $4x^3$ | $3$ |
| $2x^2$ | $2$ |
| $-x$ | $1$ |
| $9$ | $0$ |
O maior grau é $3$.
Logo, o polinômio é de grau $3$.
Classificação pelo grau
Os polinômios também recebem nomes de acordo com seu grau.
| Grau | Nome | Exemplo |
|---|---|---|
| $0$ | constante | $7$ |
| $1$ | linear | $2x+5$ |
| $2$ | quadrático | $x^2-4x+3$ |
| $3$ | cúbico | $x^3+2x-1$ |
| $4$ | quarto grau | $x^4-5x^2+6$ |
| $5$ | quinto grau | $x^5+x-1$ |
Por exemplo:
\[x^2-4x+3\]é um polinômio quadrático, pois seu grau é $2$.
Já:
\[x^3+2x^2-x+8\]é um polinômio cúbico, pois seu grau é $3$.
Coeficiente principal e termo independente
Em um polinômio, o coeficiente principal é o coeficiente do termo de maior grau.
Considere:
\[5x^4-3x^2+2x-1.\]O termo de maior grau é:
\[5x^4.\]Então o coeficiente principal é:
\[5.\]Já o termo independente é o termo que não possui variável.
Nesse mesmo polinômio:
\[5x^4-3x^2+2x-1,\]o termo independente é:
\[-1.\]O que é um polinômio mônico?
Um polinômio é chamado de mônico quando seu coeficiente principal é igual a $1$.
Exemplo:
\[x^3+4x^2-2x+7.\]O termo de maior grau é:
\[x^3.\]O coeficiente de $x^3$ é $1$.
Logo, esse polinômio é mônico.
Agora observe:
\[3x^3+4x^2-2x+7.\]O coeficiente principal é $3$.
Portanto, esse polinômio não é mônico.
Um polinômio mônico é aquele cujo termo de maior grau tem coeficiente igual a $1$.
Existem outras classificações além de mônico?
Sim.
A classificação “mônico” observa apenas o coeficiente principal. Mas os polinômios podem ser classificados de várias outras formas.
Eles podem ser classificados:
| Critério | Exemplos de classificação |
|---|---|
| Número de termos | monômio, binômio, trinômio |
| Grau | linear, quadrático, cúbico |
| Coeficiente principal | mônico ou não mônico |
| Presença dos termos | completo ou incompleto |
| Organização | ordenado ou não ordenado |
| Redução | reduzido ou não reduzido |
| Fatoração | redutível ou irredutível |
Vamos observar cada uma dessas classificações.
Polinômio completo e incompleto
Um polinômio é chamado de completo quando possui todos os termos desde o maior grau até o termo constante.
Exemplo:
\[x^3+2x^2-5x+7.\]Esse polinômio possui termos de grau:
\[3,\ 2,\ 1,\ 0.\]Logo, ele é completo.
Agora observe:
\[x^3-5x+7.\]Esse polinômio possui termos de grau:
\[3,\ 1,\ 0.\]Falta o termo de grau $2$.
Portanto, ele é incompleto.
Outro exemplo:
\[x^4+3x^2-1.\]Esse polinômio possui termos de grau:
\[4,\ 2,\ 0.\]Faltam os termos de grau $3$ e grau $1$.
Polinômio ordenado e não ordenado
Um polinômio é ordenado quando seus termos aparecem em ordem crescente ou decrescente de grau.
Exemplo em ordem decrescente:
\[5x^4-2x^3+x^2-7x+1.\]Os graus aparecem assim:
\[4,\ 3,\ 2,\ 1,\ 0.\]Agora observe:
\[x^2+5x^4+1-7x.\]Os graus aparecem assim:
\[2,\ 4,\ 0,\ 1.\]Logo, esse polinômio não está ordenado.
Podemos ordená-lo assim:
\[5x^4+x^2-7x+1.\]Polinômio reduzido e não reduzido
Um polinômio é reduzido quando não possui termos semelhantes para juntar.
Exemplo:
\[3x^2+2x-5.\]Não existem dois termos com a mesma parte literal.
Logo, ele está reduzido.
Agora observe:
\[3x^2+2x-5+4x^2-x.\]Esse polinômio possui termos semelhantes:
\[3x^2 \quad \text{e} \quad 4x^2,\]além de:
\[2x \quad \text{e} \quad -x.\]Somando os termos semelhantes:
\[3x^2+4x^2=7x^2,\]e
\[2x-x=x.\]Portanto:
\[3x^2+2x-5+4x^2-x = 7x^2+x-5.\]A forma reduzida é:
\[\boxed{ 7x^2+x-5 }\]Polinômio redutível e irredutível
Essa classificação aparece muito em fatoração.
Um polinômio é redutível quando pode ser escrito como produto de polinômios de grau menor.
Exemplo:
\[x^2-9.\]Esse polinômio pode ser fatorado:
\[x^2-9=(x-3)(x+3).\]Logo, ele é redutível.
Agora considere:
\[x^2+1.\]Nos números reais, esse polinômio não pode ser fatorado em fatores lineares reais, pois não possui raízes reais.
Então, sobre os reais, ele é irredutível.
Mas sobre os números complexos:
\[x^2+1=(x-i)(x+i).\]Dizer que um polinômio é irredutível depende do conjunto considerado. Um polinômio pode ser irredutível nos reais, mas redutível nos complexos.
Widget interativo: classificador de polinômios
Use os controles abaixo para alterar:
- o coeficiente principal;
- o grau do polinômio;
- o termo independente;
- a presença ou ausência de termos intermediários.
O widget monta um polinômio simples e mostra algumas classificações automaticamente.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1: identificar coeficiente, variável e termo independente
Considere:
\[P(x)=3x^2+5x-8.\]Os termos são:
\[3x^2,\quad 5x,\quad -8.\]A variável é:
\[x.\]O coeficiente do termo $3x^2$ é:
\[3.\]O coeficiente do termo $5x$ é:
\[5.\]O termo independente é:
\[-8.\]O grau do polinômio é $2$, pois o maior expoente de $x$ é $2$.
Logo, esse é um polinômio quadrático.
Exemplo 2: verificar se o polinômio é mônico
Considere:
\[P(x)=x^4-3x^2+2x-1.\]O termo de maior grau é:
\[x^4.\]O coeficiente principal é:
\[1.\]Logo, o polinômio é mônico.
Agora considere:
\[Q(x)=4x^4-3x^2+2x-1.\]O termo de maior grau é:
\[4x^4.\]O coeficiente principal é:
\[4.\]Logo, o polinômio não é mônico.
Exemplo 3: polinômio completo ou incompleto
Considere:
\[P(x)=2x^3+x^2-5x+9.\]Ele possui os graus:
\[3,\ 2,\ 1,\ 0.\]Logo, é completo.
Agora considere:
\[Q(x)=2x^3-5x+9.\]Ele possui os graus:
\[3,\ 1,\ 0.\]Falta o termo de grau $2$.
Logo, é incompleto.
Exemplo 4: reduzir um polinômio
Considere:
\[P(x)=4x^2+3x-5+2x^2-x+7.\]Agrupando os termos semelhantes:
\[4x^2+2x^2=6x^2,\] \[3x-x=2x,\] \[-5+7=2.\]Logo:
\[P(x)=6x^2+2x+2.\]A forma reduzida é:
\[\boxed{ 6x^2+2x+2 }\]Por que isso importa?
Entender monômios, polinômios e coeficientes é uma base essencial para vários assuntos da matemática.
Essa linguagem aparece em:
| Assunto | Relação com polinômios |
|---|---|
| Equações | Resolver expressões como $x^2-5x+6=0$ |
| Fatoração | Escrever polinômios como produtos |
| Produtos notáveis | Expandir e simplificar expressões |
| Funções | Estudar gráficos de funções polinomiais |
| Cálculo | Derivar e integrar funções polinomiais |
| Álgebra abstrata | Estudar anéis de polinômios |
Por exemplo, a equação:
\[x^2-5x+6=0\]envolve um polinômio quadrático.
Ela pode ser fatorada como:
\[x^2-5x+6=(x-2)(x-3).\]Assim:
\[(x-2)(x-3)=0.\]Logo:
\[x=2\]ou
\[x=3.\]A fatoração só fica clara quando sabemos reconhecer os termos, os coeficientes e o grau do polinômio.
O que guardar deste artigo?
- Uma expressão algébrica combina números, letras e operações.
- A variável representa um valor que pode mudar ou ser desconhecido.
- O coeficiente é o número que multiplica a parte literal.
- Um monômio possui apenas um termo.
- Um polinômio é uma soma algébrica de monômios.
- O grau de um polinômio é o maior grau entre seus termos.
- Um polinômio mônico possui coeficiente principal igual a $1$.
- Polinômios também podem ser completos, incompletos, ordenados, reduzidos, redutíveis ou irredutíveis.
Referências e fontes
- Iezzi, Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar: Álgebra. Atual Editora.
- Lima, Elon Lages. A Matemática do Ensino Médio. Sociedade Brasileira de Matemática.
- Lang, Serge. Basic Mathematics. Springer.
- Herstein, I. N. Topics in Algebra. Wiley.
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