Resposta curta e direta, Sim! — para acertar os 15 números (faixa principal), 16 apostas simples de 15 números têm a mesma probabilidade que 1 aposta de 16 números na Lotofácil, desde que você esteja efetivamente fazendo 16 jogos distintos, mas por quê ambas tem a mesma probabilidade?
A seguir vai a demonstração à mão, completa.
1) Modelo do sorteio (Lotofácil)
- Existem 25 números no volante.
- O sorteio seleciona 15 números.
Logo, o espaço amostral (todos os conjuntos possíveis sorteados) é
\[\Omega=\{D\subset\{1,\dots,25\}:|D|=15\}, \qquad |\Omega|=\binom{25}{15}\]2) Cálculo de $\binom{25}{15}$ “na mão”
Usando $\binom{25}{15}=\binom{25}{10}$,
\[\binom{25}{15}=\binom{25}{10} =\frac{25\cdot 24\cdot 23\cdot 22\cdot 21\cdot 20\cdot 19\cdot 18\cdot 17\cdot 16}{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}\]Agora vou calcular como produto de frações “arrumadas”, garantindo inteiros a cada passo:
\[\binom{25}{10} =\frac{25}{1}\cdot\frac{24}{2}\cdot\frac{23}{3}\cdot\frac{22}{4}\cdot\frac{21}{5}\cdot\frac{20}{6}\cdot\frac{19}{7}\cdot\frac{18}{8}\cdot\frac{17}{9}\cdot\frac{16}{10}\]Passo a passo:
- $25$
- $25\cdot\frac{24}{2}=25\cdot 12=300$
- $300\cdot\frac{23}{3}=100\cdot 23=2300$
- $2300\cdot\frac{22}{4}=2300\cdot\frac{11}{2}=1150\cdot 11=12650$
- $12650\cdot\frac{21}{5}=2530\cdot 21=53130$
- $53130\cdot\frac{20}{6}=53130\cdot\frac{10}{3}=17710\cdot 10=177100$
- $177100\cdot\frac{19}{7}=25300\cdot 19=480700$
- $480700\cdot\frac{18}{8}=480700\cdot\frac{9}{4}=120175\cdot 9=1{,}081{,}575$
- $1{,}081{,}575\cdot\frac{17}{9}=120{,}175\cdot 17=2{,}042{,}975$
- $2{,}042{,}975\cdot\frac{16}{10}=2{,}042{,}975\cdot\frac{8}{5}=408{,}595\cdot 8=3{,}268{,}760$
Portanto,
\[\boxed{\binom{25}{15}=3{.}268{.}760}\]3) Probabilidade de 1 aposta simples (15 números) acertar 15
Uma aposta simples escolhe um conjunto $A$ com $A=15$. Você acerta 15 se $D=A$. Assim,
\[\mathbb{P}(\text{15 acertos com 1 jogo}) =\frac{1}{\binom{25}{15}} =\frac{1}{3{.}268{.}760} \approx 3{.}059264\times 10^{-7}\]4) Probabilidade de 16 apostas de 15 números (16 jogos distintos) acertarem 15
Se você tem 16 jogos distintos $A_1,\dots,A_{16}$, então o sorteio $D$ só pode ser igual a no máximo um deles (não dá para $D$ ser dois conjuntos diferentes ao mesmo tempo). Logo,
\[\mathbb{P}(\text{15 acertos em pelo menos 1 dos 16 jogos}) =\frac{16}{\binom{25}{15}} =\frac{16}{3{.}268{.}760} \approx 4{.}8948225\times 10^{-6}\]Em “odds” (aprox.):
\[\frac{1}{\mathbb{P}}=\frac{\binom{25}{15}}{16}=\frac{3{.}268{.}760}{16}=204{.}297{.}5\ \approx\ 204{.}298.\]isto é, cerca de 1 em 204.298.
Observação importante: se entre os 16 jogos houver repetição (jogos iguais), a chance cai. No geral, se houver apenas $k$ jogos distintos, então a chance vira $\dfrac{k}{\binom{25}{15}}$.
5) Probabilidade de 1 aposta de 16 números acertar 15
Uma aposta de 16 números escolhe um conjunto $B$ com $B=16$. Para fazer 15 acertos, é necessário que os 15 sorteados estejam contidos em $B$, isto é:
\[D\subset B\]Fixe um sorteio $D$. Quantos conjuntos $B$ de tamanho 16 contêm $D$?
Você precisa adicionar 1 número extra dentre os $25-15=10$ números que não saíram:
E o total de possíveis $B$ é $\binom{25}{16}$. Logo,
\[\mathbb{P}(\text{15 acertos com aposta de 16}) =\frac{\binom{10}{1}}{\binom{25}{16}} =\frac{10}{\binom{25}{16}}\]Agora relaciono $\binom{25}{16}$ com $\binom{25}{15}$:
\[\binom{25}{16} =\binom{25}{15}\cdot\frac{25-15}{16} =\binom{25}{15}\cdot\frac{10}{16}\]Substituindo:
\[\frac{10}{\binom{25}{16}} =\frac{10}{\binom{25}{15}\cdot(10/16)} =\frac{16}{\binom{25}{15}}\]Portanto,
\[\boxed{\mathbb{P}(\text{15 acertos com 16 números})=\mathbb{P}(\text{15 acertos com 16 jogos de 15})}\]Numericamente. como $\binom{25}{16}=2{.}042{.}975$.
\[\mathbb{P}=\frac{10}{2{.}042{.}975}\approx 4{.}8948225\times 10^{-6} \approx \text{1 em }204{.}298\]Conclusão (objetiva)
Sim. Para a faixa de 15 acertos, 16 apostas de 15 números (distintas) dão a mesma chance que 1 aposta de 16 números, porque a aposta de 16 números equivale a considerar todas as $\binom{16}{15}=16$ combinações de 15 dentro daqueles 16 números — e isso resulta exatamente em $\dfrac{16}{\binom{25}{15}}$.