Função do 1º Grau — A Reta y = ax + b
Uma função do 1º grau, y = ax + b, transforma cada x num y somando sempre o mesmo tanto a cada passo. O gráfico é uma reta: a diz o quanto ela é inclinada, e b, onde ela corta o eixo y.
O que a e b fazem com a reta
A reta que passa por dois pontos
Dois pontos bastam para definir uma reta. Digite as coordenadas e veja a e b saírem.
Passo a passo
Taxa constante: o que faz a função ser do 1º grau
Uma corrida de táxi custa R$ 5 de bandeirada mais R$ 3 por quilômetro. O preço é y = 3x + 5: cada quilômetro a mais soma sempre R$ 3. Essa é a marca da função do 1º grau — a variação de y é proporcional à de x, a uma taxa que não muda.
| x (km) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| y (R$) | 5 | 8 | 11 | 14 | 17 |
| diferença | +3 | +3 | +3 | +3 |
Por isso a inclinação se calcula com quaisquer dois pontos: Δy/Δx dá sempre o mesmo número. Se as diferenças mudassem, a curva não seria reta — e a taxa de cada trecho viraria a taxa de variação do cálculo.
Crescente: quanto maior x, maior y.
Decrescente: quanto maior x, menor y.
Passa pela origem: y é proporcional a x — é a regra de três.
Onde y é positivo: uma inequação do 1º grau; a raiz separa os dois lados.
A reta na estatística
Regressão linear. Quando os pontos de um gráfico de dispersão “quase” formam uma reta, a regressão linear acha a reta que passa mais perto de todos eles. Na estatística ela costuma ser escrita ŷ = b₀ + b₁x — os mesmos b e a desta página, com outros nomes e em outra ordem. A inclinação b₁ diz quanto y muda, em média, quando x aumenta 1.
Correlação. O sinal da inclinação é o sinal da correlação de Pearson: reta crescente, correlação positiva; decrescente, negativa.
Mudar de unidade. Converter Celsius em Fahrenheit é F = 1,8C + 32. Quando todos os dados passam por uma função assim, a média passa pela mesma função, e o desvio padrão só é multiplicado por |a| — o b não mexe na dispersão.
Teste você mesmo
1. Em y = −2x + 4, diga se a função é crescente ou decrescente, onde corta o eixo y e qual é a raiz.
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a = −2: decrescente. Corta o eixo y em (0, 4). Raiz: −2x + 4 = 0, x = 2.
2. Ache a reta que passa por (1, 2) e (3, 8).
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a = (8 − 2)/(3 − 1) = 3. Com (1, 2): 2 = 3 + b, b = −1. y = 3x − 1.
3. A água ferve a 100 °C = 212 °F e congela a 0 °C = 32 °F. Ache a fórmula de F em função de C e converta 25 °C.
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a = (212 − 32)/(100 − 0) = 1,8 e b = 32: F = 1,8C + 32. Para 25 °C: 1,8 × 25 + 32 = 77 °F.
4. Um plano de celular custa R$ 40 fixos mais R$ 0,50 por gigabyte. Escreva a função e diga quanto custa um mês com 12 GB.
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y = 0,5x + 40. Com x = 12: 6 + 40 = R$ 46.
5. Uma regressão deu ŷ = 50 + 4x, em que x é horas de estudo e ŷ a nota prevista (de 0 a 100). O que significa o 4? E o 50?
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O 4 é a inclinação: cada hora a mais de estudo está associada, em média, a 4 pontos a mais na nota. O 50 é a nota prevista para quem não estudou nada (x = 0).