Taxa de Variação — Quão Rápido Algo Muda

O velocímetro marca 54 km/h. Mas 54 quilômetros em que hora, se você está dirigindo há só dez segundos? Essa pergunta — o que é a velocidade num instante — é o ponto de partida do cálculo. Antes dela, a pergunta mais simples: quão rápido algo mudou, em média.

Velocidade média

Um carro sai do sinal, acelera, anda e freia no sinal seguinte, 100 metros adiante, em 10 segundos. O gráfico mostra a posição s a cada instante t. Escolha dois instantes, a e b: a velocidade média entre eles é quanto andou dividido por quanto tempo levou.

E num instante?

Para saber a velocidade num instante t, meça a média num intervalo curto, de t até t + h — e vá encolhendo h. A reta que liga os dois pontos, a secante, vai girando até encostar na curva num ponto só: a tangente.

Taxa de variação é inclinação

No gráfico, Δs é quanto a curva sobe e Δt é quanto ela anda para o lado. A razão entre os dois é a inclinação da reta que liga os pontos: subida sobre avanço. Por isso falar de taxa de variação e de inclinação é falar da mesma coisa.

Numa reta, a inclinação é a mesma em todo lugar, e a taxa não depende de onde se mede: um carro a 15 m/s constantes tem velocidade média de 15 m/s em qualquer intervalo. Numa curva, cada trecho tem a sua inclinação — e a velocidade num instante é a inclinação da curva naquele ponto, a da reta tangente.

A grandeza está aumentando: a curva sobe da esquerda para a direita.

Está diminuindo: a curva desce.

Não mudou, na média. Num instante, é o topo ou o fundo de uma curva.

Taxas em toda parte

Velocidade é só o exemplo mais conhecido. Toda vez que uma grandeza depende de outra, dá para perguntar quão depressa uma muda quando a outra muda — e a unidade da resposta é sempre “unidade de cima por unidade de baixo”:

A pergunta do cálculo. A taxa média é só uma divisão. A dificuldade — e a ideia que fez nascer o cálculo, com Newton e Leibniz — é a taxa num instante, em que o intervalo é zero. O caminho é encolher o intervalo sem nunca chegar a zero: um limite.

Taxa de variação na estatística

A inclinação da regressão. Na regressão linear, o coeficiente b₁ é uma taxa de variação: quanto y muda, em média, quando x aumenta uma unidade — reais de salário por ano de estudo, pontos na prova por hora estudada.

Densidade. Uma curva de densidade, como a da normal, é a taxa com que a probabilidade se acumula ao longo do eixo: onde a curva é alta, cada pedacinho do eixo junta muita probabilidade.

Taxas relativas. Crescimento costuma ser medido em porcentagem — quanto mudou em relação ao tamanho —, como nos juros compostos. É a taxa de variação dividida pelo próprio valor.

Teste você mesmo

1. Um ciclista está no km 12 às 9h e no km 42 às 11h. Qual foi a velocidade média dele?

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Δs = 42 − 12 = 30 km em Δt = 2 h, então a velocidade média é 30 ÷ 2 = 15 km/h. Em alguns trechos ele foi mais rápido, em outros mais devagar: a média não conta isso.

2. A população de uma cidade passou de 200 mil para 230 mil habitantes em 10 anos. Qual a taxa média de variação, e em que unidade?

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(230 − 200) ÷ 10 = 3 mil habitantes por ano. A unidade de uma taxa é sempre “unidade de cima por unidade de baixo”.

3. A reta y = 4 − 2x tem a mesma taxa de variação em todo ponto. Qual é ela, e o que o sinal diz?

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É a inclinação, −2: cada unidade a mais em x tira 2 de y. Taxa negativa quer dizer que a grandeza está diminuindo.

4. Na curva y = x², calcule a taxa média de x = 1 a x = 1,1 e de x = 1 a x = 1,01. Para onde ela parece ir?

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(1,21 − 1) ÷ 0,1 = 2,1 e (1,0201 − 1) ÷ 0,01 = 2,01. Os valores se aproximam de 2: é a taxa instantânea em x = 1, a derivada de x² nesse ponto.

5. Por que não dá para calcular a velocidade num instante fazendo Δt = 0 direto na conta?

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Porque Δs também vira zero, e a conta fica 0 ÷ 0, que não tem valor. O que se faz é ver de que número a razão se aproxima quando Δt fica cada vez menor: um limite, assunto da próxima lição.