Porcentagem é uma forma de comparar quantidades usando a ideia de “por cem” (do símbolo %). Em vez de dizer “0,25”, você pode dizer 25%, o que facilita muito interpretar descontos, aumentos, juros, impostos, probabilidades, estatísticas, gráficos e relatórios do dia a dia.
1. Calcular $p\%$ de um valor
\[R = V \cdot \frac{p}{100}\]Exemplo: Calcular $10\%$ de $500$.
2. Descobrir o valor total (base)
\[V = \frac{T}{p/100} = \frac{T \cdot 100}{p}\]Exemplo: Uma taxa de $450$ corresponde a $5\%$ do valor total.
3. Descobrir a porcentagem
\[p = \frac{T}{V} \cdot 100\]Exemplo: $200$ é quantos porcento de $800$?
4. Aumento percentual
\[V_f = V \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)\]Exemplo: Aumentar $1.000$ em $12\%$.
5. Desconto percentual
\[V_f = V \cdot \left(1 - \frac{p}{100}\right)\]Exemplo: Aplicar desconto de $25\%$ sobre $800$.
6. Valor original antes do aumento
\[V = \frac{V_f}{1 + \frac{p}{100}}\]Exemplo: Após aumento de $20\%$, o valor passou a ser $1.200$.
7. Valor original antes do desconto
\[V = \frac{V_f}{1 - \frac{p}{100}}\]Exemplo: Após desconto de $10\%$, o valor ficou $900$.
8. Variação percentual
\[\Delta\% = \frac{V_f - V_i}{V_i} \cdot 100\]Exemplo: De $500$ para $650$.
9. Porcentagens sucessivas
Ao realizar porcentagens sucessivas, os efeitos não se anulam necessariamente. Exemplo:
\[(1 + a)(1 - b) \neq 1\]Exemplo: Aumento de $20\%$ seguido de desconto de $20\%$.
10. Porcentagem de outra porcentagem (ex.: $12\%$ de $95\%$)
Quando queremos aplicar uma porcentagem sobre outra porcentagem (por exemplo, $12\%$ de $95\%$), convertemos cada porcentagem em sua forma decimal e multiplicamos. Em termos gerais:
\[ext{(p\% de q\%)} = \frac{p}{100} \cdot \frac{q}{100} = \frac{p\,q}{10000}\]Para expressar o resultado novamente em porcentagem, multiplicamos por $100$:
\[ext{(p\% de q\%) em \%} = \frac{p\,q}{100}\]Exemplo: calcular $12\%$ de $95\%$.
Exemplo: calcular $12\%$ de $95\%$ — usando a multiplicação direta e cortando um zero:
\[\frac{12}{100}\cdot\frac{95}{100}=\frac{12\cdot95}{10000}\]Primeiro calcule $12\cdot95$:
\[12\times95=1140\]Então temos a fração $\dfrac{1140}{10000}$. Podemos “cortar” um zero no numerador com um zero no denominador (dividindo ambos por $10$):
\[\frac{1140}{10000}=\frac{114\cancel{0}}{1000\cancel{0}}=\frac{114}{1000}\]Agora simplificamos dividindo por $2$:
\[\frac{114}{1000}=\frac{57}{500}\]Convertendo para decimal e porcentagem:
\[\frac{57}{500}=0{,}114=11{,}4\%.\]Portanto, $12\%$ de $95\%$ corresponde a $11{,}4\%$, mostrado com a abordagem desejada (multiplicação direta e cancelamento de um zero).
Atalho: multiplicar e “cortar 2 zeros”
Regra rápida: para calcular $p\%$ de um valor $V$ você pode usar
\[p\%\text{ de }V = \frac{p\cdot V}{100}\]Um atalho prático é calcular primeiro $p\cdot V$ e depois “cortar dois zeros” (ou seja, dividir por $100$, que equivale a mover a vírgula duas casas para a esquerda). Exemplos (do quadro):
\[5\%\text{ de }400:\quad 5\times4\cancel{0}\cancel{0}=20\ \Rightarrow\ \text{cortar dois zeros}\ \Rightarrow\ 20\] \[30\%\text{ de }80:\quad 3\cancel{0}\times8\cancel{0}=24\ \Rightarrow\ \text{cortar dois zeros}\ \Rightarrow\ 24\] \[30\%\text{ de }500:\quad 30\times5\cancel{0}\cancel{0}=150\ \Rightarrow\ \text{cortar dois zeros}\ \Rightarrow\ 150\] \[6\%\text{ de }60:\quad 6\times6\cancel{0}=36\ \Rightarrow\ \text{cortar um zero e anda uma vírgula para esquerda}\ \Rightarrow\ 3{,}6\] \[60\%\text{ de }683:\quad 6\cancel{0}\times683=4.098\ \Rightarrow\ \text{cortar um zero e anda uma vírgula para esquerda}\ \Rightarrow\ 409{,}8\] \[3\%\text{ de }240:\quad 3\times24\cancel{0}=72\ \Rightarrow\ \text{cortar um zero e anda uma vírgula para esquerda}\ \Rightarrow\ 7{,}2\] \[2\%\text{ de }252:\quad 2\times252=504\ \Rightarrow\ \text{como não tem zero, a vírgula anda duas casas para esquerda}\ \Rightarrow\ 5,04\] \[5\%\text{ de }0,43:\quad 5\times\cancel{0},43=0,0215\ \Rightarrow\ \text{como é um número decimal, a vírgula anda duas casas para esquerda}\ \Rightarrow\ 0,0215\]Conceitos adicionais e explicações
Conceito formal de porcentagem
Porcentagem é uma razão comparada a 100. Dizer que algo é $p\%$ significa que a parte vale $\tfrac{p}{100}$ da totalidade.
Conversões úteis
- Percentual → decimal: $p\% = \dfrac{p}{100}$. Ex.: $15\% = 0{,}15$.
- Decimal → percentual: $d = 0{,}23 \Rightarrow 23\%$.
- Percentual → fração: $p\% = \dfrac{p}{100}$ simplificada. Ex.: $50\% = \dfrac{1}{2}$.
Avos (“n-avos”) e nomenclatura
O termo “avos” refere-se a partes iguais de uma unidade: “n-avos” significa dividir a unidade em $n$ partes iguais e considerar quantas dessas partes temos. Por exemplo, 1/4 são “quatro avos” e 3/4 são “três quartos” (três avos de quatro).
Nomes tradicionais para denominadores comuns:
- $1/2$ — meio (ou “dois avos” quando se fala em número de partes)
- $1/3$ — um terço
- $1/4$ — um quarto
- $1/5$ — um quinto
- $1/6$ — um sexto
- $1/8$ — um oitavo
Nomenclatura por ordens de grandeza (usualmente usada com decimais e porcentagens):
- Décimos = $1/10$ (“10 avos”)
- Centésimos = $1/100$ (“100 avos”) — diretamente relacionado a porcentagens: $1\% = 1/100$.
- Milésimos = $1/1000$ (“1000 avos”)
Quando usar cada forma:
- Use nomes tradicionais (meio, terço, quarto…) em linguagem corrente e quando o denominador pequeno facilita a leitura (receitas, frações simples).
- Use “décimos/centésimos/milésimos” ao relacionar com medidas decimais, precisão ou porcentagens (ex.: centésimos para porcentagens e notas com duas casas decimais).
- Use a notação “n-avos” (por exemplo, “15 avos de 100”) quando for necessário destacar o número de partes iguais de forma genérica.
Exemplos rápidos:
- $\tfrac{1}{2} = 0{,}5 = 50\%$ (meio / dois avos).
- $\tfrac{1}{10} = 0{,}1 = 10\%$ (um décimo / 10 avos).
- $\tfrac{3}{100} = 0{,}03 = 3\%$ (três centésimos / 3 avos de 100).
Pontos percentuais vs. variação percentual
- Se a taxa sobe de $5\%$ para $8\%$, o acréscimo é de 3 pontos percentuais.
- A variação percentual relativa é $\dfrac{8-5}{5}\cdot100 = 60\%$.
Exemplos práticos adicionais
- Converter $2{,}5\%$ para decimal e fração: \(2{,}5\% = 0{,}025 = \dfrac{25}{1000} = \dfrac{1}{40}\)
- Aumentar $250$ em $7{,}5\%$: \(V_f = 250 \cdot \left(1 + \frac{7{,}5}{100}\right) = 250 \cdot 1{,}075 = 268{,}75\)
Porcentagens ponderadas
Quando diferentes grupos têm pesos distintos, usa-se média ponderada: \(\bar{p} = \frac{\sum_i w_i p_i}{\sum_i w_i}\) Ex.: turma A (30 alunos) média 80%, turma B (20 alunos) média 70%: \(\bar{p}=\frac{30\cdot80 + 20\cdot70}{30+20} = \frac{2400+1400}{50}=76\%\)
Porcentagens compostas (sucessivas)
Aplicar $a\%$ e depois $b\%$ não é o mesmo que aplicar $(a+b)\%$, mas sim multiplicar fatores: \(V_f = V\cdot\left(1+\frac{a}{100}\right)\left(1+\frac{b}{100}\right)\) Ex.: dois aumentos de $10\%$: $1{,}1\cdot1{,}1=1{,}21$ → aumento total $21\%$.
Erros comuns
- Confundir pontos percentuais com variação percentual.
- Somar porcentagens em situações compostas (porcentagens sucessivas).
- Não converter para decimal ao multiplicar valores.
Dicas práticas
- Para estimativas rápidas: $10\%$ é dividir por 10; $5\%$ é metade de $10\%$; $1\%$ é dividir por 100.
- Use duas casas decimais em valores monetários e uma casa em percentuais para clareza.
Exercícios propostos (com resposta)
- Quanto é $18\%$ de $450$? — Resposta: $81$.
- Se $x$ representa $12\%$ de $V$ e $x=36$, qual é $V$? — Resposta: $300$.
- Uma mercadoria custa $200$; aplica-se desconto de $15\%$ e depois acréscimo de $10\%$. Qual o preço final? — Resposta: $200\cdot0{,}85\cdot1{,}10=187$.