Sobre esta série
Em Questões de Livros Famosos selecionamos três questões por volume, cada uma extraída de um livro clássico da matemática. Para cada questão: o enunciado original, a referência bibliográfica completa, e a resolução detalhada feita a mão, sem pular etapas.
Questão 1
Koh Khee-Meng
Enunciado
De quantas maneiras podemos distribuir $r$ objetos idênticos em $n$ caixas distintas?
Resolução
O problema equivale a contar o número de soluções inteiras não-negativas da equação:
\[x_1 + x_2 + \cdots + x_n = r,\]onde $x_i \geq 0$ representa a quantidade de objetos colocados na caixa $i$.
Técnica das estrelas e separadores (Stars and Bars)
Representamos os $r$ objetos como $r$ estrelas: $\star\star\cdots\star$.
| Para separar esses objetos em $n$ grupos (um por caixa), precisamos de $n - 1$ separadores $ | $. |
Por exemplo, com $r = 5$ objetos e $n = 3$ caixas, a distribuição $(2, 0, 3)$ corresponde a:
\[\star\star \;|\; \;|\; \star\star\star\]Cada distribuição é, portanto, um arranjo dos $r + (n-1)$ símbolos — $r$ estrelas e $n-1$ separadores — em posições distintas.
Contando as disposições:
Temos no total $r + n - 1$ posições. Precisamos escolher quais $r$ delas serão ocupadas pelas estrelas (as demais serão separadores):
\[\binom{r + n - 1}{r} = \binom{r + n - 1}{n - 1}.\]Demonstração pela fórmula do coeficiente binomial:
O número de formas de escolher $r$ posições dentre $r + n - 1$ é:
\[\binom{r + n - 1}{r} = \frac{(r + n - 1)!}{r!\,(n-1)!}.\]Exemplo numérico: distribuir $r = 4$ objetos em $n = 3$ caixas:
\[\binom{4 + 3 - 1}{4} = \binom{6}{4} = \frac{6!}{4!\,2!} = \frac{6 \cdot 5}{2} = \boxed{15}.\]Verificação parcial — listando as distribuições $(x_1, x_2, x_3)$ com $x_1 + x_2 + x_3 = 4$, $x_i \geq 0$:
- $(4,0,0)$, $(0,4,0)$, $(0,0,4)$ → 3 disposições
- $(3,1,0)$ e suas permutações → $3! / 1! = $ 6 disposições
- $(2,2,0)$ e suas permutações → $3!/2! = $ 3 disposições
- $(2,1,1)$ e suas permutações → $3!/2! = $ 3 disposições
Total: $3 + 6 + 3 + 3 = \boxed{15}$. ✓
Resultado geral:
\[\boxed{\binom{r + n - 1}{r} = \frac{(r+n-1)!}{r!\,(n-1)!}}\]Questão 2
Enunciado
A e B jogam alternadamente um par de dados. Ganha o jogo aquele que primeiro obtém o total 7. Determine a probabilidade (a) de ganhar aquele que inicia o jogo, (b) de ganhar o que faz a segunda jogada.
Resolução
Vamos resolver completo, à mão, passo a passo.
O jogo é assim:
- $A$ joga primeiro.
- Depois $B$ joga.
- Depois $A$ joga de novo.
- Depois $B$, e assim por diante.
- Ganha quem primeiro tirar soma $7$ em dois dados.
Probabilidade de obter soma $7$
Primeiro, vamos calcular a probabilidade de sair soma $7$ em uma jogada com dois dados.
Os pares possíveis que dão soma $7$ são:
\[(1,6),\ (2,5),\ (3,4),\ (4,3),\ (5,2),\ (6,1)\]São $6$ casos favoráveis.
Como dois dados têm:
\[6 \cdot 6 = 36\]resultados possíveis, temos:
\[P(\text{sair } 7)=\frac{6}{36}\]Simplificando:
\[P(\text{sair } 7)=\frac{1}{6}\]Chamemos essa probabilidade de $p$:
\[p=\frac{1}{6}\]Agora, a probabilidade de não sair 7 é o complementar:
\[q=1-p\]Substituindo $p=\dfrac{1}{6}$:
\[q=1-\frac{1}{6}\]Escrevendo $1$ como fração de denominador $6$:
\[q=\frac{6}{6}-\frac{1}{6}\] \[q=\frac{5}{6}\]Então:
\[p=\frac{1}{6}\]e
\[q=\frac{5}{6}\](a) Probabilidade de $A$ ganhar
Como $A$ começa, ele pode ganhar na primeira jogada, ou na terceira, ou na quinta, e assim por diante.
Ou seja, $A$ ganha se:
\[A \text{ acerta}\]ou
\[A \text{ erra},\ B \text{ erra},\ A \text{ acerta}\]ou
\[A \text{ erra},\ B \text{ erra},\ A \text{ erra},\ B \text{ erra},\ A \text{ acerta}\]e assim por diante.
Primeiro caso: $A$ ganha na 1ª jogada
Para $A$ ganhar logo na primeira jogada, basta sair soma $7$.
Logo:
\[P_1=\frac{1}{6}\]Segundo caso: $A$ ganha na 3ª jogada
Para $A$ ganhar na terceira jogada do jogo, precisa acontecer:
\[A \text{ perde},\ B \text{ perde},\ A \text{ ganha}\]A probabilidade é:
\[P_2= \left(\frac{5}{6}\right) \left(\frac{5}{6}\right) \left(\frac{1}{6}\right)\]Multiplicando:
\[P_2= \frac{5 \cdot 5 \cdot 1}{6 \cdot 6 \cdot 6}\] \[P_2=\frac{25}{216}\]Terceiro caso: $A$ ganha na 5ª jogada
Agora precisa acontecer:
\[A \text{ perde},\ B \text{ perde},\ A \text{ perde},\ B \text{ perde},\ A \text{ ganha}\]A probabilidade é:
\[P_3= \left(\frac{5}{6}\right) \left(\frac{5}{6}\right) \left(\frac{5}{6}\right) \left(\frac{5}{6}\right) \left(\frac{1}{6}\right)\]Agrupando:
\[P_3= \left(\frac{5}{6}\right)^4 \left(\frac{1}{6}\right)\]Quarto caso: $A$ ganha na 7ª jogada
Precisa acontecer:
\[A \text{ perde},\ B \text{ perde},\ A \text{ perde},\ B \text{ perde},\ A \text{ perde},\ B \text{ perde},\ A \text{ ganha}\]A probabilidade é:
\[P_4= \left(\frac{5}{6}\right)^6 \left(\frac{1}{6}\right)\]Soma das probabilidades de $A$ ganhar
Portanto, a probabilidade de $A$ ganhar é a soma:
\[P(A)= \frac{1}{6} + \left(\frac{5}{6}\right)^2\frac{1}{6} + \left(\frac{5}{6}\right)^4\frac{1}{6} + \left(\frac{5}{6}\right)^6\frac{1}{6} +\cdots\]Colocando $\dfrac{1}{6}$ em evidência:
\[P(A)= \frac{1}{6} \left[ 1+ \left(\frac{5}{6}\right)^2+ \left(\frac{5}{6}\right)^4+ \left(\frac{5}{6}\right)^6+ \cdots \right]\]Agora observe que:
\[\left(\frac{5}{6}\right)^2=\frac{25}{36}\]Logo:
\[P(A)= \frac{1}{6} \left[ 1+ \frac{25}{36} + \left(\frac{25}{36}\right)^2 + \left(\frac{25}{36}\right)^3 +\cdots \right]\]A parte dentro dos colchetes é uma série geométrica:
\[1+r+r^2+r^3+\cdots\]com razão:
\[r=\frac{25}{36}\]A soma de uma série geométrica infinita é:
\[1+r+r^2+r^3+\cdots=\frac{1}{1-r}\]Então:
\[P(A)= \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{1-\dfrac{25}{36}}\]Agora vamos resolver o denominador:
\[1-\frac{25}{36} = \frac{36}{36}-\frac{25}{36}\] \[1-\frac{25}{36} = \frac{11}{36}\]Então:
\[P(A)= \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{\dfrac{11}{36}}\]Dividir por uma fração é multiplicar pelo inverso:
\[P(A)= \frac{1}{6} \cdot \frac{36}{11}\]Multiplicando:
\[P(A)= \frac{36}{66}\]Dividindo numerador e denominador por $6$:
\[P(A)=\frac{\cancel{6} \cdot 6}{\cancel{6} \cdot 11} = \frac{6}{11}\]Portanto:
\[\boxed{P(A)=\frac{6}{11}}\](b) Probabilidade de $B$ ganhar
Agora vamos calcular a probabilidade de ganhar o jogador que faz a segunda jogada, ou seja, $B$.
Para $B$ ganhar, ele pode ganhar na segunda jogada, ou na quarta, ou na sexta, e assim por diante.
Primeiro caso: $B$ ganha na 2ª jogada
Para $B$ ganhar na segunda jogada, precisa acontecer:
\[A \text{ perde},\ B \text{ ganha}\]A probabilidade é:
\[P_1= \left(\frac{5}{6}\right) \left(\frac{1}{6}\right)\]Multiplicando:
\[P_1=\frac{5}{36}\]Segundo caso: $B$ ganha na 4ª jogada
Agora precisa acontecer:
\[A \text{ perde},\ B \text{ perde},\ A \text{ perde},\ B \text{ ganha}\]A probabilidade é:
\[P_2= \left(\frac{5}{6}\right) \left(\frac{5}{6}\right) \left(\frac{5}{6}\right) \left(\frac{1}{6}\right)\]Agrupando:
\[P_2= \left(\frac{5}{6}\right)^3 \left(\frac{1}{6}\right)\]Terceiro caso: $B$ ganha na 6ª jogada
Precisa acontecer:
\[A \text{ perde},\ B \text{ perde},\ A \text{ perde},\ B \text{ perde},\ A \text{ perde},\ B \text{ ganha}\]A probabilidade é:
\[P_3= \left(\frac{5}{6}\right)^5 \left(\frac{1}{6}\right)\]Soma das probabilidades de $B$ ganhar
Portanto:
\[P(B)= \left(\frac{5}{6}\right) \left(\frac{1}{6}\right) + \left(\frac{5}{6}\right)^3 \left(\frac{1}{6}\right) + \left(\frac{5}{6}\right)^5 \left(\frac{1}{6}\right) +\cdots\]Colocando $\dfrac{5}{6}\cdot \dfrac{1}{6}$ em evidência:
\[P(B)= \left(\frac{5}{6}\right) \left(\frac{1}{6}\right) \left[ 1+ \left(\frac{5}{6}\right)^2+ \left(\frac{5}{6}\right)^4+ \left(\frac{5}{6}\right)^6+ \cdots \right]\]Já sabemos que:
\[\left(\frac{5}{6}\right)^2=\frac{25}{36}\]Então:
\[P(B)= \left(\frac{5}{6}\right) \left(\frac{1}{6}\right) \left[ 1+ \frac{25}{36} + \left(\frac{25}{36}\right)^2 + \left(\frac{25}{36}\right)^3 +\cdots \right]\]A série dentro dos colchetes é:
\[1+ \frac{25}{36} + \left(\frac{25}{36}\right)^2 + \left(\frac{25}{36}\right)^3 +\cdots\]com razão:
\[r=\frac{25}{36}\]Logo:
\[1+ \frac{25}{36} + \left(\frac{25}{36}\right)^2 + \left(\frac{25}{36}\right)^3 +\cdots = \frac{1}{1-\dfrac{25}{36}}\]Então:
\[P(B)= \left(\frac{5}{6}\right) \left(\frac{1}{6}\right) \cdot \frac{1}{1-\dfrac{25}{36}}\]Agora:
\[\left(\frac{5}{6}\right) \left(\frac{1}{6}\right) = \frac{5}{36}\]E:
\[1-\frac{25}{36} = \frac{11}{36}\]Logo:
\[P(B)= \frac{5}{36} \cdot \frac{1}{\dfrac{11}{36}}\]Dividindo por fração:
\[P(B)= \frac{5}{36} \cdot \frac{36}{11}\]Agora simplificamos o $36$:
\[P(B)= \frac{5}{\cancel{36}} \cdot \frac{\cancel{36}}{11}\] \[P(B)=\frac{5}{11}\]Portanto:
\[\boxed{P(B)=\frac{5}{11}}\]Conferência
Vamos conferir se as duas probabilidades somam $1$:
\[P(A)+P(B)=\frac{6}{11}+\frac{5}{11}\]Como os denominadores são iguais, somamos os numeradores:
\[P(A)+P(B)=\frac{6+5}{11}\] \[P(A)+P(B)=\frac{11}{11}\] \[P(A)+P(B)=1\]Então as probabilidades estão corretas:
\[\boxed{P(A)=\frac{6}{11}}\] \[\boxed{P(B)=\frac{5}{11}}\]Resposta em porcentagem
Para $A$:
\[P(A)=\frac{6}{11} \approx 0{,}5454 \approx 54{,}54\%\]Para $B$:
\[P(B)=\frac{5}{11} \approx 0{,}4545 \approx 45{,}45\%\]Resposta final
\[\boxed{P(A)=\frac{6}{11}\approx 54{,}54\%}\] \[\boxed{P(B)=\frac{5}{11}\approx 45{,}45\%}\]Portanto, quem começa o jogo tem vantagem.
Questão 3
Enunciado
Uma turma com 120 estudantes é levada em 3 ônibus para a apresentação de uma curta sinfonia. Há 36 estudantes em um ônibus, 40 no outro e 44 no terceiro ônibus. Quando os ônibus chegam, um dos 120 estudantes é escolhido aleatoriamente. Suponha que $X$ represente o número de estudantes que vieram no mesmo ônibus do estudante escolhido e determine $E[X]$.
Resolução
Temos uma turma com:
\[120 \text{ estudantes}\]Eles foram distribuídos em 3 ônibus:
\[36 \text{ estudantes no 1º ônibus}\] \[40 \text{ estudantes no 2º ônibus}\] \[44 \text{ estudantes no 3º ônibus}\]Note que:
\[36 + 40 + 44 = 120\]A variável aleatória $X$ representa:
\[X = \text{número de estudantes que vieram no mesmo ônibus do estudante escolhido}\]Ou seja, se o estudante escolhido estava no ônibus com 36 alunos, então:
\[X = 36\]Se estava no ônibus com 40 alunos:
\[X = 40\]Se estava no ônibus com 44 alunos:
\[X = 44\]Como o estudante é escolhido aleatoriamente entre os 120 estudantes, a probabilidade de ele estar em cada ônibus depende da quantidade de estudantes naquele ônibus.
Probabilidade de o estudante escolhido estar no 1º ônibus
O primeiro ônibus tem 36 estudantes.
Logo:
\[P(X = 36) = \frac{36}{120}\]Simplificando:
\[P(X = 36) = \frac{3}{10}\]Probabilidade de o estudante escolhido estar no 2º ônibus
O segundo ônibus tem 40 estudantes.
Logo:
\[P(X = 40) = \frac{40}{120}\]Simplificando:
\[P(X = 40) = \frac{1}{3}\]Probabilidade de o estudante escolhido estar no 3º ônibus
O terceiro ônibus tem 44 estudantes.
Logo:
\[P(X = 44) = \frac{44}{120}\]Simplificando:
\[P(X = 44) = \frac{11}{30}\]Agora usamos a fórmula da esperança matemática:
\[E[X] = \sum x_i \cdot P(X = x_i)\]Então:
\[E[X] = 36 \cdot P(X = 36) + 40 \cdot P(X = 40) + 44 \cdot P(X = 44)\]Substituindo as probabilidades:
\[E[X] = 36 \cdot \frac{36}{120} + 40 \cdot \frac{40}{120} + 44 \cdot \frac{44}{120}\]Agora fazemos cada multiplicação:
\[36 \cdot \frac{36}{120} = \frac{36^2}{120}\] \[40 \cdot \frac{40}{120} = \frac{40^2}{120}\] \[44 \cdot \frac{44}{120} = \frac{44^2}{120}\]Logo:
\[E[X] = \frac{36^2}{120} + \frac{40^2}{120} + \frac{44^2}{120}\]Como os denominadores são iguais:
\[E[X] = \frac{36^2 + 40^2 + 44^2}{120}\]Agora calculamos os quadrados:
\[36^2 = 1296\] \[40^2 = 1600\] \[44^2 = 1936\]Substituindo:
\[E[X] = \frac{1296 + 1600 + 1936}{120}\]Somando:
\[1296 + 1600 = 2896\] \[2896 + 1936 = 4832\]Então:
\[E[X] = \frac{4832}{120}\]Simplificando por 8:
\[E[X] = \frac{604}{15}\]Em decimal:
\[E[X] \approx 40{,}27\]Portanto:
\[\boxed{E[X] = \frac{604}{15} \approx 40{,}27}\]Assim, o número esperado de estudantes que vieram no mesmo ônibus do estudante escolhido é aproximadamente:
\[\boxed{40{,}27 \text{ estudantes}}\]Observe que esse valor não é simplesmente:
\[\frac{36 + 40 + 44}{3} = 40\]Isso acontece porque o estudante é escolhido entre os 120 estudantes, e não entre os 3 ônibus.
Portanto, ônibus com mais estudantes têm maior chance de ser o ônibus do estudante escolhido.
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