Pergunta
O que é a derivada de uma função, como calculá-la usando a definição por limite, quais são as regras de derivação (potência, produto, quociente, cadeia), e como usá-la para encontrar a equação da reta tangente?
1) A ideia central (intuição + fórmula)
A derivada de uma função $f$ em um ponto $x$ é definida como o limite do quociente diferencial:
\[f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}.\]Se esse limite existe, dizemos que $f$ é derivável (ou diferenciável) em $x$. A derivada mede a taxa de variação instantânea de $f$ — geometricamente, é a inclinação da reta tangente ao gráfico de $f$ naquele ponto.
Notações (o que cada uma significa)
| Símbolo | Significado |
|---|---|
| $f'(x)$ | notação de Lagrange (lê-se "$f$ linha de $x$") |
| $\dfrac{dy}{dx}$ | notação de Leibniz ($y$ em função de $x$) |
| $\dfrac{d}{dx}\big[f(x)\big]$ | operador diferencial aplicado a $f(x)$ |
| $D_x f(x)$ | notação de Euler |
| $\dot{y}$ | notação de Newton (derivada em relação ao tempo) |
Diferenciabilidade implica continuidade
| Se $f$ é derivável em $x = a$, então $f$ é contínua em $a$. Mas a recíproca é falsa: uma função pode ser contínua num ponto sem ser derivável ali (exemplo clássico: $f(x) = | x | $ em $x = 0$). |
2) Formas de calcular a derivada
Você tem basicamente três caminhos:
- Definição (limite do quociente diferencial) — usado para deduzir as regras e para funções que não se encaixam nas regras-padrão.
- Regras de derivação — tabela de derivadas prontas (potência, exponencial, trigonométricas, etc.).
- Regras operatórias — produto, quociente, cadeia.
A regra de ouro:
A definição justifica as regras. Depois que você domina as regras, raramente volta à definição. Mas saber a definição é o que separa quem entende Cálculo de quem só decora fórmulas.
PARTE 01 — Derivada pela definição (limite do quociente diferencial)
Definição
$\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$. Calcule $f(x+h)$, monte a fração, cancele $h$ e então faça $h \to 0$.
Exemplo 1
Calcule $f’(x)$ para $f(x) = x^2$ usando a definição.
\[\begin{aligned} f(x+h) &= (x+h)^2 = x^2 + 2xh + h^2,\\[4pt] \frac{f(x+h)-f(x)}{h} &= \frac{(x^2 + 2xh + h^2) - x^2}{h} = \frac{2xh + h^2}{h} = \frac{h(2x + h)}{h} = 2x + h,\\[4pt] f'(x) &= \lim_{h \to 0} (2x + h) = 2x. \end{aligned}\]Exemplo 2
Calcule $f’(x)$ para $f(x) = 3x + 1$ usando a definição.
\[\begin{aligned} f(x+h) &= 3(x+h) + 1 = 3x + 3h + 1,\\[4pt] \frac{f(x+h)-f(x)}{h} &= \frac{(3x + 3h + 1) - (3x + 1)}{h} = \frac{3h}{h} = 3,\\[4pt] f'(x) &= \lim_{h \to 0} 3 = 3. \end{aligned}\]Exemplo 3
Calcule $f’(x)$ para $f(x) = \dfrac{1}{x}$ usando a definição.
\[\begin{aligned} f(x+h) &= \frac{1}{x+h},\\[4pt] \frac{f(x+h)-f(x)}{h} &= \frac{\frac{1}{x+h} - \frac{1}{x}}{h} = \frac{\frac{x - (x+h)}{x(x+h)}}{h} = \frac{\frac{-h}{x(x+h)}}{h} = \frac{-1}{x(x+h)},\\[4pt] f'(x) &= \lim_{h \to 0} \frac{-1}{x(x+h)} = -\frac{1}{x^2}. \end{aligned}\]Exemplo 4
Calcule $f’(x)$ para $f(x) = \sqrt{x}$ usando a definição.
\[\begin{aligned} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} &= \frac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{h} \cdot \frac{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}} \\[4pt] &= \frac{(x+h) - x}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})} = \frac{h}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})} = \frac{1}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}},\\[4pt] f'(x) &= \lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}. \end{aligned}\]Exemplo 5
Calcule $f’(0)$ para $f(x) = x\,|x|$ usando a definição.
\[\begin{aligned} f'(0) &= \lim_{h \to 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h\,|h| - 0}{h} = \lim_{h \to 0} |h| = 0. \end{aligned}\]| A derivada existe e vale $0$ em $x=0$, embora $ | x | $ sozinha não fosse derivável ali. |
PARTE 02 — Regras básicas (potência, constante, soma e diferença)
Tabela-relâmpago
$\displaystyle \frac{d}{dx}\big[c\big] = 0$ (derivada de constante é zero).
$\displaystyle \frac{d}{dx}\big[x^n\big] = n x^{n-1}$ (regra da potência, $n \in \mathbb{R}$).
$\displaystyle \frac{d}{dx}\big[c \cdot f(x)\big] = c \cdot f'(x)$ (múltiplo constante).
$\displaystyle \frac{d}{dx}\big[f(x) \pm g(x)\big] = f'(x) \pm g'(x)$ (soma/diferença).
Exemplo 1
Derive $f(x) = 7x^4$.
\[f'(x) = 7 \cdot 4x^{3} = 28x^3.\]Exemplo 2
Derive $f(x) = 5x^3 - 2x^2 + 4x - 9$.
\[f'(x) = 5\cdot 3x^2 - 2\cdot 2x^1 + 4\cdot 1x^0 - 0 = 15x^2 - 4x + 4.\]Exemplo 3
Derive $f(x) = \sqrt[3]{x^2} = x^{2/3}$.
\[f'(x) = \frac{2}{3}\,x^{\frac{2}{3}-1} = \frac{2}{3}\,x^{-1/3} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}.\]Exemplo 4
Derive $f(x) = \dfrac{1}{x^3} = x^{-3}$.
\[f'(x) = -3x^{-4} = -\frac{3}{x^4}.\]Exemplo 5
Derive $f(x) = \dfrac{x^3 + 2x^2 - 5}{x}$ (simplifique antes).
\[\begin{aligned} f(x) &= \frac{x^3}{x} + \frac{2x^2}{x} - \frac{5}{x} = x^2 + 2x - 5x^{-1},\\[4pt] f'(x) &= 2x + 2 - 5(-1)x^{-2} = 2x + 2 + \frac{5}{x^2}. \end{aligned}\]PARTE 03 — Regra do produto e do quociente
Fórmulas
Produto: $(f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'$.
Quociente: $\displaystyle \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f' \cdot g - f \cdot g'}{g^2}$.
Exemplo 1
Derive $h(x) = (x^2 + 1)(3x - 5)$.
\[\begin{aligned} h'(x) &= (2x)(3x-5) + (x^2+1)(3)\\ &= 6x^2 - 10x + 3x^2 + 3\\ &= 9x^2 - 10x + 3. \end{aligned}\]Exemplo 2
Derive $h(x) = (x^3 - x)(x^2 + 2x)$.
\[\begin{aligned} h'(x) &= (3x^2 - 1)(x^2 + 2x) + (x^3 - x)(2x + 2)\\ &= (3x^2 - 1)(x^2 + 2x) + (x^3 - x) \cdot 2(x+1). \end{aligned}\](A fatoração completa não é necessária aqui — o importante é aplicar a regra corretamente.)
Exemplo 3
Derive $h(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x + 2}$.
\[\begin{aligned} h'(x) &= \frac{(2x)(x+2) - (x^2 - 1)(1)}{(x+2)^2}\\[4pt] &= \frac{2x^2 + 4x - x^2 + 1}{(x+2)^2}\\[4pt] &= \frac{x^2 + 4x + 1}{(x+2)^2}. \end{aligned}\]Exemplo 4
Derive $h(x) = \dfrac{\sin x}{x}$.
\[\begin{aligned} h'(x) &= \frac{(\cos x)(x) - (\sin x)(1)}{x^2} = \frac{x\cos x - \sin x}{x^2}. \end{aligned}\]Exemplo 5
Derive $h(x) = \dfrac{x+1}{x^2+3}$.
\[\begin{aligned} h'(x) &= \frac{(1)(x^2+3) - (x+1)(2x)}{(x^2+3)^2}\\[4pt] &= \frac{x^2 + 3 - 2x^2 - 2x}{(x^2+3)^2}\\[4pt] &= \frac{-x^2 - 2x + 3}{(x^2+3)^2}. \end{aligned}\]PARTE 04 — Regra da cadeia
Fórmula
$\displaystyle \frac{d}{dx}\big[f(g(x))\big] = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.
Em palavras: derivada de fora $\times$ derivada de dentro.
Exemplo 1
Derive $h(x) = (2x + 1)^5$.
\[\begin{aligned} h'(x) &= 5(2x + 1)^4 \cdot \frac{d}{dx}[2x + 1]\\ &= 5(2x + 1)^4 \cdot 2\\ &= 10(2x + 1)^4. \end{aligned}\]Exemplo 2
Derive $h(x) = \sqrt{x^2 + 4} = (x^2 + 4)^{1/2}$.
\[\begin{aligned} h'(x) &= \frac{1}{2}(x^2 + 4)^{-1/2} \cdot (2x)\\ &= \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}. \end{aligned}\]Exemplo 3
Derive $h(x) = \sin(x^2 + 3x)$.
\[\begin{aligned} h'(x) &= \cos(x^2 + 3x) \cdot \frac{d}{dx}[x^2 + 3x]\\ &= \cos(x^2 + 3x) \cdot (2x + 3). \end{aligned}\]Exemplo 4
Derive $h(x) = e^{x^3 - x}$.
\[\begin{aligned} h'(x) &= e^{x^3 - x} \cdot \frac{d}{dx}[x^3 - x]\\ &= e^{x^3 - x} \cdot (3x^2 - 1). \end{aligned}\]Exemplo 5 (cadeia dupla)
Derive $h(x) = \ln\big(\sin(x)\big)$.
\[\begin{aligned} h'(x) &= \frac{1}{\sin x} \cdot \frac{d}{dx}[\sin x]\\ &= \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x\\ &= \cot x. \end{aligned}\]PARTE 05 — Derivadas de funções elementares (tabela completa)
Decore estas (aparecem o tempo todo)
$\displaystyle \frac{d}{dx}\big[\sin x\big] = \cos x$,
$\displaystyle \frac{d}{dx}\big[\cos x\big] = -\sin x$,
$\displaystyle \frac{d}{dx}\big[\tan x\big] = \sec^2 x$.
$\displaystyle \frac{d}{dx}\big[e^x\big] = e^x$,
$\displaystyle \frac{d}{dx}\big[\ln x\big] = \frac{1}{x}$.
$\displaystyle \frac{d}{dx}\big[a^x\big] = a^x \ln a$,
$\displaystyle \frac{d}{dx}\big[\log_a x\big] = \frac{1}{x \ln a}$.
Exemplo 1
Derive $f(x) = 3\sin x - 2\cos x$.
\[\begin{aligned} f'(x) &= 3\cos x - 2(-\sin x)\\ &= 3\cos x + 2\sin x. \end{aligned}\]Exemplo 2
Derive $f(x) = \tan x + \sec x$.
\[\begin{aligned} f'(x) &= \sec^2 x + \sec x \tan x. \end{aligned}\]Exemplo 3
Derive $f(x) = e^x \ln x$.
Usando regra do produto:
\[\begin{aligned} f'(x) &= e^x \cdot \ln x + e^x \cdot \frac{1}{x}\\ &= e^x\left(\ln x + \frac{1}{x}\right). \end{aligned}\]Exemplo 4
Derive $f(x) = 2^x + \log_2 x$.
\[\begin{aligned} f'(x) &= 2^x \ln 2 + \frac{1}{x \ln 2}. \end{aligned}\]Exemplo 5
Derive $f(x) = \dfrac{e^x}{\cos x}$.
Usando regra do quociente:
\[\begin{aligned} f'(x) &= \frac{e^x \cdot \cos x - e^x \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x}\\[4pt] &= \frac{e^x(\cos x + \sin x)}{\cos^2 x}. \end{aligned}\]PARTE 06 — Derivação implícita
Quando usar
Quando $y$ está implícito como função de $x$ (ex.: $x^2 + y^2 = 25$), derive termo a termo em relação a $x$, tratando $y$ como $y(x)$ e usando a regra da cadeia em cada ocorrência de $y$: $\displaystyle \frac{d}{dx}[y] = \frac{dy}{dx}$ e $\displaystyle \frac{d}{dx}[y^n] = n y^{n-1}\,\frac{dy}{dx}$.
Exemplo 1
Encontre $\dfrac{dy}{dx}$ para $x^2 + y^2 = 25$.
\[\begin{aligned} \frac{d}{dx}[x^2] + \frac{d}{dx}[y^2] &= \frac{d}{dx}[25],\\[4pt] 2x + 2y\,\frac{dy}{dx} &= 0,\\[4pt] 2y\,\frac{dy}{dx} &= -2x,\\[4pt] \frac{dy}{dx} &= -\frac{x}{y}. \end{aligned}\]Exemplo 2
Encontre $\dfrac{dy}{dx}$ para $x^3 + y^3 = 6xy$ (folium de Descartes).
\[\begin{aligned} 3x^2 + 3y^2\,\frac{dy}{dx} &= 6y + 6x\,\frac{dy}{dx},\\[4pt] 3y^2\,\frac{dy}{dx} - 6x\,\frac{dy}{dx} &= 6y - 3x^2,\\[4pt] \frac{dy}{dx}\,(3y^2 - 6x) &= 6y - 3x^2,\\[4pt] \frac{dy}{dx} &= \frac{2y - x^2}{y^2 - 2x}. \end{aligned}\]Exemplo 3
Encontre $\dfrac{dy}{dx}$ para $e^{xy} = x + y$.
\[\begin{aligned} \frac{d}{dx}\big[e^{xy}\big] &= \frac{d}{dx}[x + y],\\[4pt] e^{xy}\left(y + x\,\frac{dy}{dx}\right) &= 1 + \frac{dy}{dx},\\[4pt] e^{xy}y + e^{xy}x\,\frac{dy}{dx} &= 1 + \frac{dy}{dx},\\[4pt] e^{xy}x\,\frac{dy}{dx} - \frac{dy}{dx} &= 1 - e^{xy}y,\\[4pt] \frac{dy}{dx}\,(e^{xy}x - 1) &= 1 - e^{xy}y,\\[4pt] \frac{dy}{dx} &= \frac{1 - e^{xy}y}{e^{xy}x - 1}. \end{aligned}\]Exemplo 4
Encontre $\dfrac{dy}{dx}$ para $\sin(x + y) = y$.
\[\begin{aligned} \cos(x + y)\left(1 + \frac{dy}{dx}\right) &= \frac{dy}{dx},\\[4pt] \cos(x + y) + \cos(x + y)\,\frac{dy}{dx} &= \frac{dy}{dx},\\[4pt] \cos(x + y) &= \frac{dy}{dx} - \cos(x + y)\,\frac{dy}{dx},\\[4pt] \cos(x + y) &= \frac{dy}{dx}\,\big(1 - \cos(x + y)\big),\\[4pt] \frac{dy}{dx} &= \frac{\cos(x + y)}{1 - \cos(x + y)}. \end{aligned}\]Exemplo 5
Se $x^2 + xy + y^2 = 7$, encontre a inclinação da reta tangente no ponto $(-1, 2)$.
\[\begin{aligned} 2x + \left(y + x\,\frac{dy}{dx}\right) + 2y\,\frac{dy}{dx} &= 0,\\[4pt] 2x + y + x\,\frac{dy}{dx} + 2y\,\frac{dy}{dx} &= 0,\\[4pt] \frac{dy}{dx}\,(x + 2y) &= -2x - y,\\[4pt] \frac{dy}{dx} &= \frac{-2x - y}{x + 2y}. \end{aligned}\]No ponto $(-1, 2)$:
\[\left.\frac{dy}{dx}\right|_{(-1,2)} = \frac{-2(-1) - 2}{-1 + 2(2)} = \frac{2 - 2}{-1 + 4} = \frac{0}{3} = 0.\]A tangente é horizontal nesse ponto.
PARTE 07 — Aplicações: equação da reta tangente
Chave
A equação da reta tangente ao gráfico de $f$ no ponto $(x_0, f(x_0))$ é:
$\displaystyle y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$.
A reta normal é perpendicular à tangente: sua inclinação é $-\dfrac{1}{f'(x_0)}$ (se $f'(x_0) \neq 0$).
Exemplo 1
Encontre a equação da reta tangente a $f(x) = x^2 + 1$ no ponto onde $x = 2$.
\[\begin{aligned} f(2) &= 4 + 1 = 5,\\ f'(x) &= 2x \implies f'(2) = 4,\\[4pt] y - 5 &= 4(x - 2) \implies y = 4x - 3. \end{aligned}\]Exemplo 2
Encontre a equação da reta tangente a $f(x) = \sqrt{x}$ no ponto $(9, 3)$.
\[\begin{aligned} f'(x) &= \frac{1}{2\sqrt{x}} \implies f'(9) = \frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6},\\[4pt] y - 3 &= \frac{1}{6}(x - 9) \implies y = \frac{1}{6}x + \frac{3}{2}. \end{aligned}\]Exemplo 3
Encontre a equação da reta normal a $f(x) = e^x$ no ponto $(0, 1)$.
\[\begin{aligned} f'(x) &= e^x \implies f'(0) = 1,\\[4pt] m_{\text{normal}} &= -\frac{1}{1} = -1,\\[4pt] y - 1 &= -1(x - 0) \implies y = -x + 1. \end{aligned}\]Exemplo 4
Encontre os pontos sobre a curva $y = x^3 - 3x$ onde a reta tangente é horizontal.
\[\begin{aligned} f'(x) &= 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x - 1)(x + 1),\\[4pt] f'(x) &= 0 \implies x = 1 \text{ ou } x = -1,\\[4pt] f(1) &= 1 - 3 = -2,\\ f(-1) &= -1 + 3 = 2. \end{aligned}\]Pontos: $(1, -2)$ e $(-1, 2)$.
Exemplo 5
Encontre a equação da reta tangente a $f(x) = \sin x$ no ponto $x = \dfrac{\pi}{3}$.
\[\begin{aligned} f\!\left(\frac{\pi}{3}\right) &= \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2},\\[4pt] f'(x) &= \cos x \implies f'\!\left(\frac{\pi}{3}\right) = \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2},\\[4pt] y - \frac{\sqrt{3}}{2} &= \frac{1}{2}\!\left(x - \frac{\pi}{3}\right)\\[4pt] y &= \frac{1}{2}x - \frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}. \end{aligned}\]Derivadas de ordem superior
Se $f’$ for derivável, podemos derivar de novo e obter a segunda derivada:
\[f''(x) = \frac{d^2f}{dx^2} = \frac{d}{dx}\big[f'(x)\big].\]A segunda derivada mede a concavidade do gráfico e a aceleração (em física). Analogamente, $f’’’$, $f^{(4)}$, etc.
Exemplo-relâmpago: $f(x) = x^4$. Então $f’(x) = 4x^3$, $f’‘(x) = 12x^2$, $f’’‘(x) = 24x$, $f^{(4)}(x) = 24$, $f^{(5)}(x) = 0$.
Referência rápida (para revisar em 30 segundos)
- Definição: $\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ — é a inclinação da tangente.
- Potência: $\frac{d}{dx}[x^n] = n x^{n-1}$.
- Produto: $(fg)' = f'g + fg'$.
- Quociente: $\displaystyle \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$.
- Cadeia: $\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ — derivada de fora vezes derivada de dentro.
- Elementares: $\sin'=\cos$, $\cos'=-\sin$, $\tan'=\sec^2$, $e^x{'}=e^x$, $\ln'(x)=1/x$.
- Implícita: derive tudo em $x$, use regra da cadeia em $y$, isole $dy/dx$.
- Reta tangente: $y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$.
- Ordem superior: $f''$, $f'''$, $\dots$ — derivadas da derivada.
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