Fatorial — Contar Filas
O fatorial de n, escrito n!, é o produto de todos os inteiros de n até 1: 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24. Ele conta de quantos jeitos dá para pôr n coisas em fila — e cresce mais rápido que quase tudo.
Uma escada de multiplicações
O que o fatorial conta: filas
Calculadora de fatorial
O valor exato de n! até n = 1000. Com k preenchido, calcula n!/k! cancelando — sem calcular os dois fatoriais enormes.
Exemplos:
Passo a passo
Regras
Arraste n e m: os valores são os mesmos em todos os cards.
Fatorial de uma divisão: cancele
valeAqui com k = m. É o atalho de toda fórmula de contagem: 100!/98! = 100 × 99 = 9900, sem calcular número de 158 algarismos.
Fatorial de uma soma
não valeFatorial do dobro
não valeCresce mais rápido que potência
A cada passo o fatorial multiplica por um número maior, enquanto uma potência como 2ⁿ multiplica sempre pelo mesmo. Por isso o fatorial ultrapassa qualquer potência:
| n | n² | 2ⁿ | n! |
|---|---|---|---|
| 3 | 9 | 8 | 6 |
| 5 | 25 | 32 | 120 |
| 10 | 100 | 1.024 | 3.628.800 |
| 20 | 400 | 1.048.576 | 2,4 × 10¹⁸ |
| 52 | 2.704 | 4,5 × 10¹⁵ | 8,1 × 10⁶⁷ |
52! é o número de ordens de um baralho embaralhado: cerca de 8 × 10⁶⁷. É tão grande que, embaralhando bem, quase certamente ninguém na história segurou o mesmo baralho na mesma ordem. É por isso que contar “testando todas as ordens” é inviável — e por que as fórmulas de contagem existem.
Para onde o fatorial leva
Contagem. Arranjos, permutações e combinações são frações de fatoriais. Veja permutações e arranjos e o coeficiente binomial, que é n! ÷ (k! (n − k)!).
Probabilidade. A distribuição binomial, a de Poisson e o problema do aniversário têm fatoriais nas fórmulas. O binômio de Newton também.
Estimar sem calcular. Para n grande, a aproximação de Stirling dá n! com erro pequeno, usando só potência e raiz — o π e o e aparecem juntos nela, veja as constantes.
Teste você mesmo
1. Calcule 6!.
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6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720. Ou, da escada: 6 × 5! = 6 × 120.
2. Calcule 9!/7! sem calcular os dois fatoriais.
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9!/7! = 9 × 8 × 7!/7! = 9 × 8 = 72.
3. De quantos jeitos 5 pessoas podem se sentar num banco de 5 lugares?
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5 escolhas para o 1º lugar, 4 para o 2º… 5! = 120 jeitos.
4. Numa corrida com 10 atletas, de quantos jeitos podem sair o 1º, o 2º e o 3º lugares?
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10 × 9 × 8 = 720, que é 10!/7!. Só os três primeiros importam, então o 7! dos outros se cancela.
5. Simplifique (n + 1)!/n!.
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(n + 1)! = (n + 1) × n!, então a fração é n + 1.
6. Em quantos zeros termina 25!?
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Cada zero do fim vem de um 2 × 5. Há bem mais fatores 2 que 5, então conte os 5: 5, 10, 15, 20 dão um cada, e 25 = 5 × 5 dá dois. Total: 6 zeros.