Somatório — A Notação Σ
O Σ (sigma, o S grego) é um jeito curto de escrever uma soma comprida. Quase toda fórmula da estatística tem um: a média, a variância, a covariância, a regressão. Ler o Σ é ler a receita da conta.
Lendo o Σ
As partes do Σ
- Embaixo, o índice e onde ele começa: i = 1. O nome do índice não importa — i, j ou k dão a mesma soma.
- Em cima, onde ele para: n, o número de dados.
- À direita, o termo: o que se calcula para cada i. Com dados, xᵢ é o i-ésimo valor da lista: x₁ é o primeiro, x₂ o segundo.
Quando os limites são óbvios — somar todos os dados —, eles costumam ser omitidos: Σxᵢ quer dizer “some todos os x”.
Somando uma lista de dados
Digite os dados e escolha a soma. A tabela faz uma coluna para cada termo — é assim que se calcula à mão — e a última linha é o Σ de cada coluna.
Exemplos:
O que sai dessas somas
Propriedades
Nos cards, os dados são xᵢ = i (1, 2, 3, …) e o número de termos é n. Arraste n e a constante c: os valores são os mesmos em todos os cards.
Σ de uma soma é a soma dos Σ
valeAqui com yᵢ = i².
Somar uma constante n vezes
valeSoma dos quadrados não é quadrado da soma
não valeSoma dos produtos não é produto das somas
não valeAqui com yᵢ = i².
O Σ nas fórmulas da estatística
Com o Σ lido, as fórmulas viram instruções. Cada uma diz o que calcular para cada dado e o que fazer com a soma:
Média: some os valores e divida por quantos são.
Variância: para cada valor, desvio ao quadrado; some; divida por n − 1. A raiz é o desvio padrão.
Média ponderada: dois Σ, um em cima e outro embaixo. Veja a média ponderada.
Covariância: o produto dos dois desvios, somado. Veja a covariância.
E o Σ tem um primo, o Π (pi maiúsculo), que multiplica em vez de somar: Π xᵢ = x₁ · x₂ · … · xₙ. Ele aparece na média geométrica e na inflação acumulada.
Armadilhas
Onde está o quadrado. Dentro do Σ, eleva-se cada termo; fora, eleva-se a soma pronta. Com 2, 4, 9: 101 contra 225.
Termo sem i também conta. O 3 é somado uma vez para cada i.
Contar os termos. De 3 a 7 são 7 − 3 + 1 = 5, não 4. O “+ 1” é o mais esquecido.
Os desvios sempre se anulam. Se a sua soma de desvios não deu zero (ou quase, por arredondamento), há erro na média.
Teste você mesmo
1. Escreva por extenso e calcule Σ de i = 2 até 5 de i².
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2² + 3² + 4² + 5² = 4 + 9 + 16 + 25 = 54.
2. Escreva 3 + 6 + 9 + 12 + 15 com Σ.
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Cada termo é 3 vezes um contador de 1 a 5: Σ de i = 1 até 5 de 3i, que dá 3 × (1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 45.
3. Para os dados 1, 3, 5, 7, calcule Σxᵢ, Σxᵢ² e (Σxᵢ)².
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Σxᵢ = 16. Σxᵢ² = 1 + 9 + 25 + 49 = 84. (Σxᵢ)² = 16² = 256.
4. Com os mesmos dados, calcule a variância pelo atalho Σx² − (Σx)²/n, dividido por n − 1.
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84 − 256/4 = 84 − 64 = 20. Dividido por n − 1 = 3: s² = 20/3 ≈ 6,67.
5. Se Σxᵢ = 40 para n = 8 valores, quanto vale Σ(xᵢ + 2)? E Σ 5xᵢ?
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Σ(xᵢ + 2) = Σxᵢ + Σ2 = 40 + 8 × 2 = 56. Σ 5xᵢ = 5 × 40 = 200.