Pergunta
Será que é possível começar com duas ideias antigas — o número $e$ e o logaritmo natural — e construir, a partir delas, uma espécie de calculadora minimalista capaz de representar operações aritméticas básicas?
Antes do EML: a história do número $e$
O número $e$ é uma das constantes mais importantes da matemática. Hoje escrevemos:
\[\boxed{e \approx 2{,}718281828\ldots}\]mas ele não nasceu simplesmente como “um número bonito”. Historicamente, ele apareceu pouco a pouco em problemas envolvendo logaritmos, áreas, juros compostos e séries infinitas.
Uma forma intuitiva de entender o nascimento de $e$ é imaginar um capital inicial de R$ 1,00 aplicado a uma taxa de 100% ao ano.
Se o rendimento é aplicado uma vez no ano, o valor final é:
\[1+1=2.\]Se o rendimento é dividido em duas partes, isto é, 50% em cada semestre, temos:
\[\left(1+\frac{1}{2}\right)^2 = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4} = 2{,}25.\]Se dividimos em $n$ partes iguais ao longo do ano, o valor final fica:
\[\left(1+\frac{1}{n}\right)^n.\]Quando $n$ cresce sem parar, chegamos ao limite:
\[\boxed{e = \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}\]Esse limite foi estudado por Jacob Bernoulli no contexto dos juros compostos contínuos. Depois, Leonhard Euler popularizou a notação $e$ e mostrou, entre outras formas, que o mesmo número também pode ser escrito pela série:
\[\boxed{e = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \cdots}\]Calculando $e$ do início até chegar perto de $2{,}71$
Vamos usar a série de Euler:
\[e = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \frac{1}{5!}+\cdots\]Lembre que:
\[0! = 1, \qquad 1! = 1, \qquad 2! = 2, \qquad 3! = 6, \qquad 4! = 24.\]Agora somamos termo por termo.
| Etapa | Soma parcial | Valor aproximado |
|---|---|---|
| $1$ | $1$ | $1{,}000000$ |
| $1+\frac{1}{1!}$ | $1+1$ | $2{,}000000$ |
| $1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}$ | $2+\frac{1}{2}$ | $2{,}500000$ |
| $+\frac{1}{3!}$ | $2{,}5+\frac{1}{6}$ | $2{,}666667$ |
| $+\frac{1}{4!}$ | $2{,}666667+\frac{1}{24}$ | $2{,}708333$ |
| $+\frac{1}{5!}$ | $2{,}708333+\frac{1}{120}$ | $2{,}716667$ |
| $+\frac{1}{6!}$ | $2{,}716667+\frac{1}{720}$ | $2{,}718056$ |
| $+\frac{1}{7!}$ | $2{,}718056+\frac{1}{5040}$ | $2{,}718254$ |
Então, ainda com poucas parcelas, já chegamos em:
\[\boxed{e \approx 2{,}71}\]E, com mais termos:
\[\boxed{e \approx 2{,}718281828\ldots}\]O número $e$ aparece naturalmente quando uma quantidade cresce de modo contínuo. Por isso ele está em modelos de crescimento populacional, juros contínuos, decaimento radioativo, equações diferenciais, estatística e probabilidade.
O que é um logaritmo?
O logaritmo de base $b$ responde à pergunta: a que potência devo elevar $b$ para obter $x$? Escrevemos $\log_b(x) = a$ quando $b^a = x$.
Por exemplo:
\[\log_2(8) = 3, \qquad \text{pois } 2^3 = 8.\] \[\log_{10}(1000) = 3, \qquad \text{pois } 10^3 = 1000.\]O que é o logaritmo natural?
O logaritmo natural é simplesmente o caso especial em que a base é $e$. Escrevemos:
\[\boxed{\ln(x) = \log_e(x)}\]Isso significa que $\ln(x)$ responde à pergunta:
Pergunta
A que potência devo elevar $e$ para obter $x$?
Por exemplo:
\[\ln(e)=1,\]porque:
\[e^1=e.\]Também:
\[\ln(e^3)=3,\]porque:
\[e^3=e^3.\]Assim, a exponencial natural e o logaritmo natural são funções inversas:
\[\boxed{\ln(e^x)=x}\] \[\boxed{e^{\ln(x)}=x, \qquad x>0}\]Outra definição muito importante é pela área sob a curva $y=\frac{1}{t}$:
\[\boxed{\ln(x)=\int_1^x \frac{1}{t}\,dt, \qquad x>0}\]Isso quer dizer que $\ln(x)$ mede uma área. Em particular, $e$ é o número que torna essa área igual a $1$:
\[\int_1^e \frac{1}{t}\,dt = 1.\]Por que isso importa para o EML?
Porque o operador EML é feito exatamente das duas peças anteriores:
\[\boxed{E(x,y)=e^x-\ln(y)}\]Ou seja:
- a primeira entrada passa pela exponencial $e^x$;
- a segunda entrada passa pelo logaritmo natural $\ln(y)$;
- depois subtraímos os dois resultados.
Por isso o nome:
\[\text{EML} = \text{Exp} - \text{Log}.\]O artigo All elementary functions from a single operator, de Andrzej Odrzywołek, mostra que esse operador, junto com a constante $1$, consegue reconstruir as funções elementares usuais de uma calculadora científica. A ideia é parecida com o papel da porta NAND na lógica digital: uma peça básica que, repetida muitas vezes, constrói operações mais complexas.
Em vez de usar botões separados para $+$, $-$, $\times$, $\div$, $e^x$ e $\ln(x)$, podemos montar árvores de cálculo usando repetidamente o mesmo operador $E(x,y)=e^x-\ln(y)$ e a constante $1$.
As primeiras peças em EML
Para não escrever árvores gigantes a cada linha, vamos definir alguns blocos auxiliares. Cada bloco abaixo pode ser expandido usando apenas $E$ e a constante $1$.
1. A constante $e$
Pela definição:
\[E(1,1)=e^1-\ln(1).\]Como:
\[\ln(1)=0,\]temos:
\[E(1,1)=e-0=e.\]Logo:
\[\boxed{e = E(1,1)}\]2. A exponencial
Queremos recuperar $e^x$ usando $E$.
Pela definição:
\[E(x,1)=e^x-\ln(1).\]Como $\ln(1)=0$:
\[E(x,1)=e^x.\]Portanto:
\[\boxed{\operatorname{Exp}_E(x)=E(x,1)=e^x}\]3. O logaritmo natural
O artigo fornece uma forma de recuperar $\ln(x)$ usando apenas o EML:
\[\boxed{\operatorname{Ln}_E(x)=E\left(1,\,E(E(1,x),1)\right)}\]Vamos verificar com calma.
Primeiro:
\[E(1,x)=e^1-\ln(x)=e-\ln(x).\]Depois:
\[E(E(1,x),1)=e^{E(1,x)}-\ln(1).\]Como $\ln(1)=0$:
\[E(E(1,x),1)=e^{e-\ln(x)}.\]Agora usamos a propriedade:
\[e^{e-\ln(x)}=\frac{e^e}{e^{\ln(x)}}=\frac{e^e}{x}.\]Então:
\[E\left(1,E(E(1,x),1)\right) = e-\ln\left(\frac{e^e}{x}\right).\]Pela propriedade do logaritmo:
\[\ln\left(\frac{e^e}{x}\right)=\ln(e^e)-\ln(x)=e-\ln(x).\]Logo:
\[E\left(1,E(E(1,x),1)\right) = e-[e-\ln(x)].\]Distribuindo o sinal negativo:
\[= e-e+\ln(x).\]Portanto:
\[\boxed{\operatorname{Ln}_E(x)=\ln(x)}\]Gadget interativo: $E(x,y)=e^x-\ln(y)$
Ajuste os valores abaixo e veja três coisas acontecendo ao mesmo tempo:
- o valor direto de $E(x,y)$;
- como recuperar $e^x$ usando $E(x,1)$;
- como recuperar $\ln(x)$ usando apenas o EML e a constante $1$.
Operações aritméticas básicas com EML
A partir daqui, vamos usar quatro blocos auxiliares:
\[\operatorname{Exp}_E(x)=E(x,1),\] \[\operatorname{Ln}_E(x)=E\left(1,E(E(1,x),1)\right),\] \[\operatorname{Sub}_E(x,y)=E\left(\operatorname{Ln}_E(x),\operatorname{Exp}_E(y)\right),\] \[\operatorname{Neg}_E(y)=\operatorname{Sub}_E(\operatorname{Sub}_E(1,y),1).\]A operação $\operatorname{Sub}_E$ funciona porque:
\[\operatorname{Sub}_E(x,y) =E(\ln x,e^y) =e^{\ln x}-\ln(e^y) =x-y.\]Observação: algumas expressões intermediárias podem sair do domínio real positivo do logaritmo. O artigo trabalha naturalmente no domínio complexo, usando o ramo principal do logaritmo quando necessário. Para fins didáticos, vamos simplificar as identidades algebricamente e mostrar o resultado final real.
1. Adição
Como somar é o mesmo que subtrair o oposto, definimos:
\[\boxed{\operatorname{Add}_E(x,y)=\operatorname{Sub}_E(x,\operatorname{Neg}_E(y))}\]Como:
\[\operatorname{Neg}_E(y)=-y,\]temos:
\[\operatorname{Add}_E(x,y)=x-(-y)=x+y.\]Exemplo: calcular $4+3$.
\[\operatorname{Add}_E(4,3)=\operatorname{Sub}_E(4,\operatorname{Neg}_E(3)).\]Como:
\[\operatorname{Neg}_E(3)=-3,\]então:
\[\operatorname{Add}_E(4,3)=\operatorname{Sub}_E(4,-3).\]Como $\operatorname{Sub}_E(x,y)=x-y$:
\[\operatorname{Sub}_E(4,-3)=4-(-3)=4+3=\boxed{7}.\]2. Subtração
A subtração é direta:
\[\boxed{\operatorname{Sub}_E(x,y)=E\left(\operatorname{Ln}_E(x),\operatorname{Exp}_E(y)\right)}\]Verificação:
\[\operatorname{Sub}_E(x,y)=E(\ln x,e^y).\]Pela definição de $E$:
\[E(\ln x,e^y)=e^{\ln x}-\ln(e^y).\]Como:
\[e^{\ln x}=x\]e
\[\ln(e^y)=y,\]temos:
\[\operatorname{Sub}_E(x,y)=x-y.\]Exemplo: calcular $9-4$.
\[\operatorname{Sub}_E(9,4)=9-4=\boxed{5}.\]3. Multiplicação
Usamos a propriedade dos logaritmos:
\[\ln(xy)=\ln(x)+\ln(y).\]Então:
\[xy=e^{\ln(x)+\ln(y)}.\]Em blocos EML:
\[\boxed{ \operatorname{Mul}_E(x,y)= \operatorname{Exp}_E\left( \operatorname{Add}_E(\operatorname{Ln}_E(x),\operatorname{Ln}_E(y)) \right) }\]Exemplo: calcular $6\times 5$.
\[\operatorname{Mul}_E(6,5) =\operatorname{Exp}_E(\ln(6)+\ln(5)).\]Pela propriedade do logaritmo:
\[\ln(6)+\ln(5)=\ln(30).\]Logo:
\[\operatorname{Mul}_E(6,5)=e^{\ln(30)}=\boxed{30}.\]4. Divisão
Usamos a propriedade:
\[\ln\left(\frac{x}{y}\right)=\ln(x)-\ln(y).\]Então:
\[\frac{x}{y}=e^{\ln(x)-\ln(y)}.\]Em blocos EML:
\[\boxed{ \operatorname{Div}_E(x,y)= \operatorname{Exp}_E\left( \operatorname{Sub}_E(\operatorname{Ln}_E(x),\operatorname{Ln}_E(y)) \right) }\]Exemplo: calcular $20\div 4$.
\[\operatorname{Div}_E(20,4) =\operatorname{Exp}_E(\ln(20)-\ln(4)).\]Pela propriedade do logaritmo:
\[\ln(20)-\ln(4)=\ln\left(\frac{20}{4}\right)=\ln(5).\]Logo:
\[\operatorname{Div}_E(20,4)=e^{\ln(5)}=\boxed{5}.\]Potência, raiz e quadrado em EML
Também podemos estender a ideia para potência e raiz quadrada. Podemos defini-las com exponencial e logaritmo:
\[x^a=e^{a\ln(x)}.\]Em EML:
\[\boxed{ \operatorname{Pow}_E(x,a)= \operatorname{Exp}_E\left(\operatorname{Mul}_E(a,\operatorname{Ln}_E(x))\right) }\]A raiz quadrada é potência de expoente $\frac{1}{2}$:
\[\boxed{ \sqrt{x}=x^{1/2} }\]Logo:
\[\boxed{ \operatorname{Sqrt}_E(x)=\operatorname{Pow}_E\left(x,\frac{1}{2}\right) }\]Exemplo: calcular $\sqrt{25}$.
\[\operatorname{Sqrt}_E(25)=\operatorname{Pow}_E\left(25,\frac{1}{2}\right).\]Como:
\[25^{1/2}=5,\]temos:
\[\boxed{\operatorname{Sqrt}_E(25)=5}.\]Resumo visual das traduções
| Operação | Forma comum | Forma com blocos EML |
|---|---|---|
| Exponencial | $e^x$ | $\operatorname{Exp}_E(x)=E(x,1)$ |
| Logaritmo natural | $\ln(x)$ | $\operatorname{Ln}_E(x)=E(1,E(E(1,x),1))$ |
| Subtração | $x-y$ | $\operatorname{Sub}_E(x,y)$ |
| Adição | $x+y$ | $\operatorname{Add}_E(x,y)$ |
| Multiplicação | $xy$ | $\operatorname{Mul}_E(x,y)$ |
| Divisão | $x/y$ | $\operatorname{Div}_E(x,y)$ |
| Potência | $x^a$ | $\operatorname{Pow}_E(x,a)$ |
| Raiz quadrada | $\sqrt{x}$ | $\operatorname{Sqrt}_E(x)$ |
Atenção: o EML é elegante, mas não é sempre prático
Do ponto de vista conceitual, o EML é belíssimo porque mostra que muitas funções podem nascer de um único operador.
Mas, na prática, até mesmo uma expressão simples como:
\[x+y\]fica muito maior quando escrita apenas com árvores EML.
Então o valor pedagógico do EML não é substituir toda calculadora comum no dia a dia. O valor está em mostrar que operações aparentemente diferentes podem ter uma estrutura comum por trás.
- O número $e$ surge naturalmente em crescimento contínuo e pode ser calculado por limite ou série.
- O logaritmo natural $\ln(x)$ é o inverso da exponencial $e^x$ e também pode ser definido como uma área.
- O operador EML é $E(x,y)=e^x-\ln(y)$.
- Com $E$ e a constante $1$, podemos reconstruir exponencial, logaritmo e, por composição, operações aritméticas.
- Potência e raiz também podem ser descritas com blocos EML, embora as expressões fiquem mais longas.
- O interesse principal do EML é conceitual: mostrar como muita coisa pode nascer de uma única peça básica.
Referências e fontes
- Andrzej Odrzywołek. All elementary functions from a single operator. arXiv:2603.21852v2, 2026. Disponível em: arxiv.org/html/2603.21852v2.
- J. J. O’Connor e E. F. Robertson. The number e. MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews. Disponível em: MacTutor — The number e.
- Encyclopaedia Britannica. Natural logarithm. Disponível em: Britannica — Natural logarithm.
- NIST Digital Library of Mathematical Functions. Chapter 4: Elementary Functions. Disponível em: DLMF — Elementary Functions.
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