Porcentagem é uma forma de comparar quantidades usando a ideia de “por cem” (do símbolo %). Em vez de dizer “0,25”, você pode dizer 25%, o que facilita muito interpretar descontos, aumentos, juros, impostos, probabilidades, estatísticas, gráficos e relatórios do dia a dia.
1. Calcular $p\%$ de um valor
\[R = V \cdot \frac{p}{100}\]Exemplo: Calcular $10\%$ de $500$.
2. Descobrir o valor total (base)
\[V = \frac{T}{p/100} = \frac{T \cdot 100}{p}\]Exemplo: Uma taxa de $450$ corresponde a $5\%$ do valor total.
3. Descobrir a porcentagem
\[p = \frac{T}{V} \cdot 100\]Exemplo: $200$ é quantos porcento de $800$?
4. Aumento percentual
\[V_f = V \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)\]Exemplo: Aumentar $1.000$ em $12\%$.
5. Desconto percentual
\[V_f = V \cdot \left(1 - \frac{p}{100}\right)\]Exemplo: Aplicar desconto de $25\%$ sobre $800$.
6. Valor original antes do aumento
\[V = \frac{V_f}{1 + \frac{p}{100}}\]Exemplo: Após aumento de $20\%$, o valor passou a ser $1.200$.
7. Valor original antes do desconto
\[V = \frac{V_f}{1 - \frac{p}{100}}\]Exemplo: Após desconto de $10\%$, o valor ficou $900$.
8. Variação percentual
\[\Delta\% = \frac{V_f - V_i}{V_i} \cdot 100\]Exemplo: De $500$ para $650$.
9. Porcentagens sucessivas
Ao realizar porcentagens sucessivas, os efeitos não se anulam necessariamente. Exemplo:
\[(1 + a)(1 - b) \neq 1\]Exemplo: Aumento de $20\%$ seguido de desconto de $20\%$.
10. Porcentagem de outra porcentagem (ex.: $12\%$ de $95\%$)
Quando queremos aplicar uma porcentagem sobre outra porcentagem (por exemplo, $12\%$ de $95\%$), convertemos cada porcentagem em sua forma decimal e multiplicamos. Em termos gerais:
\[ext{(p\% de q\%)} = \frac{p}{100} \cdot \frac{q}{100} = \frac{p\,q}{10000}\]Para expressar o resultado novamente em porcentagem, multiplicamos por $100$:
\[ext{(p\% de q\%) em \%} = \frac{p\,q}{100}\]Exemplo: calcular $12\%$ de $95\%$.
Exemplo: calcular $12\%$ de $95\%$ — usando a multiplicação direta e cortando um zero:
\[\frac{12}{100}\cdot\frac{95}{100}=\frac{12\cdot95}{10000}\]Primeiro calcule $12\cdot95$:
\[12\times95=1140\]Então temos a fração $\dfrac{1140}{10000}$. Podemos “cortar” um zero no numerador com um zero no denominador (dividindo ambos por $10$):
\[\frac{1140}{10000}=\frac{114\cancel{0}}{1000\cancel{0}}=\frac{114}{1000}\]Agora simplificamos dividindo por $2$:
\[\frac{114}{1000}=\frac{57}{500}\]Convertendo para decimal e porcentagem:
\[\frac{57}{500}=0{,}114=11{,}4\%.\]Portanto, $12\%$ de $95\%$ corresponde a $11{,}4\%$, mostrado com a abordagem desejada (multiplicação direta e cancelamento de um zero).
Atalho: multiplicar e “cortar 2 zeros”
Regra rápida: para calcular $p\%$ de um valor $V$ você pode usar
\[p\%\text{ de }V = \frac{p\cdot V}{100}\]Um atalho prático é calcular primeiro $p\cdot V$ e depois “cortar dois zeros” (ou seja, dividir por $100$, que equivale a mover a vírgula duas casas para a esquerda). Exemplos (do quadro):
\[5\%\text{ de }400:\quad 5\times4\cancel{0}\cancel{0}=20\ \Rightarrow\ \text{cortar dois zeros}\ \Rightarrow\ 20\] \[30\%\text{ de }80:\quad 3\cancel{0}\times8\cancel{0}=24\ \Rightarrow\ \text{cortar dois zeros}\ \Rightarrow\ 24\] \[30\%\text{ de }500:\quad 30\times5\cancel{0}\cancel{0}=150\ \Rightarrow\ \text{cortar dois zeros}\ \Rightarrow\ 150\] \[6\%\text{ de }60:\quad 6\times6\cancel{0}=36\ \Rightarrow\ \text{cortar um zero e anda uma vírgula para esquerda}\ \Rightarrow\ 3{,}6\] \[60\%\text{ de }683:\quad 6\cancel{0}\times683=4.098\ \Rightarrow\ \text{cortar um zero e anda uma vírgula para esquerda}\ \Rightarrow\ 409{,}8\] \[3\%\text{ de }240:\quad 3\times24\cancel{0}=72\ \Rightarrow\ \text{cortar um zero e anda uma vírgula para esquerda}\ \Rightarrow\ 7{,}2\] \[2\%\text{ de }252:\quad 2\times252=504\ \Rightarrow\ \text{como não tem zero, a vírgula anda duas casas para esquerda}\ \Rightarrow\ 5,04\] \[5\%\text{ de }0,43:\quad 5\times\cancel{0},43=0,0215\ \Rightarrow\ \text{como é um número decimal, a vírgula anda duas casas para esquerda}\ \Rightarrow\ 0,0215\]Conceitos adicionais e explicações
Conceito formal de porcentagem
Porcentagem é uma razão comparada a 100. Dizer que algo é $p\%$ significa que a parte vale $\tfrac{p}{100}$ da totalidade.
Conversões úteis
- Percentual → decimal: $p\% = \dfrac{p}{100}$. Ex.: $15\% = 0{,}15$.
- Decimal → percentual: $d = 0{,}23 \Rightarrow 23\%$.
- Percentual → fração: $p\% = \dfrac{p}{100}$ simplificada. Ex.: $50\% = \dfrac{1}{2}$.
Avos (“n-avos”) e nomenclatura
O termo “avos” refere-se a partes iguais de uma unidade: “n-avos” significa dividir a unidade em $n$ partes iguais e considerar quantas dessas partes temos. Por exemplo, 1/4 são “quatro avos” e 3/4 são “três quartos” (três avos de quatro).
Nomes tradicionais para denominadores comuns:
- $1/2$ — meio (ou “dois avos” quando se fala em número de partes)
- $1/3$ — um terço
- $1/4$ — um quarto
- $1/5$ — um quinto
- $1/6$ — um sexto
- $1/8$ — um oitavo
Nomenclatura por ordens de grandeza (usualmente usada com decimais e porcentagens):
- Décimos = $1/10$ (“10 avos”)
- Centésimos = $1/100$ (“100 avos”) — diretamente relacionado a porcentagens: $1\% = 1/100$.
- Milésimos = $1/1000$ (“1000 avos”)
Quando usar cada forma:
- Use nomes tradicionais (meio, terço, quarto…) em linguagem corrente e quando o denominador pequeno facilita a leitura (receitas, frações simples).
- Use “décimos/centésimos/milésimos” ao relacionar com medidas decimais, precisão ou porcentagens (ex.: centésimos para porcentagens e notas com duas casas decimais).
- Use a notação “n-avos” (por exemplo, “15 avos de 100”) quando for necessário destacar o número de partes iguais de forma genérica.
Exemplos rápidos:
- $\tfrac{1}{2} = 0{,}5 = 50\%$ (meio / dois avos).
- $\tfrac{1}{10} = 0{,}1 = 10\%$ (um décimo / 10 avos).
- $\tfrac{3}{100} = 0{,}03 = 3\%$ (três centésimos / 3 avos de 100).
Pontos percentuais vs. variação percentual
- Se a taxa sobe de $5\%$ para $8\%$, o acréscimo é de 3 pontos percentuais.
- A variação percentual relativa é $\dfrac{8-5}{5}\cdot100 = 60\%$.
Exemplos práticos adicionais
- Converter $2{,}5\%$ para decimal e fração: \(2{,}5\% = 0{,}025 = \dfrac{25}{1000} = \dfrac{1}{40}\)
- Aumentar $250$ em $7{,}5\%$: \(V_f = 250 \cdot \left(1 + \frac{7{,}5}{100}\right) = 250 \cdot 1{,}075 = 268{,}75\)
Porcentagens ponderadas
Quando diferentes grupos têm pesos distintos, usa-se média ponderada: \(\bar{p} = \frac{\sum_i w_i p_i}{\sum_i w_i}\) Ex.: turma A (30 alunos) média 80%, turma B (20 alunos) média 70%: \(\bar{p}=\frac{30\cdot80 + 20\cdot70}{30+20} = \frac{2400+1400}{50}=76\%\)
Porcentagens compostas (sucessivas)
Aplicar $a\%$ e depois $b\%$ não é o mesmo que aplicar $(a+b)\%$, mas sim multiplicar fatores: \(V_f = V\cdot\left(1+\frac{a}{100}\right)\left(1+\frac{b}{100}\right)\) Ex.: dois aumentos de $10\%$: $1{,}1\cdot1{,}1=1{,}21$ → aumento total $21\%$.
Erros comuns
- Confundir pontos percentuais com variação percentual.
- Somar porcentagens em situações compostas (porcentagens sucessivas).
- Não converter para decimal ao multiplicar valores.
Dicas práticas
- Para estimativas rápidas: $10\%$ é dividir por 10; $5\%$ é metade de $10\%$; $1\%$ é dividir por 100.
- Use duas casas decimais em valores monetários e uma casa em percentuais para clareza.
Exercícios propostos (com resposta)
- Quanto é $18\%$ de $450$? — Resposta: $81$.
- Se $x$ representa $12\%$ de $V$ e $x=36$, qual é $V$? — Resposta: $300$.
- Uma mercadoria custa $200$; aplica-se desconto de $15\%$ e depois acréscimo de $10\%$. Qual o preço final? — Resposta: $200\cdot0{,}85\cdot1{,}10=187$.
Questão — Venda Parcial de Loteamento e Comunicação DOI no Cartório de Imóveis
Cinco pessoas são coproprietárias de um loteamento urbano com área total de $2.000\ \text{m}^2$. O imóvel está registrado em matrícula no Cartório de Registro de Imóveis, e cada coproprietário possui uma fração ideal sobre o imóvel.
Entretanto, apenas quatro coproprietários irão vender suas respectivas partes ideais. A quinta pessoa possui $35\%$ do imóvel e não participará da venda.
A distribuição das frações ideais é a seguinte:
| Pessoa | Percentual real sobre o imóvel | Situação |
|---|---|---|
| Marcos | 40% | Vai vender |
| Leandro | 15% | Vai vender |
| João | 8% | Vai vender |
| Pedro | 2% | Vai vender |
| Quinta pessoa | 35% | Não vai vender |
A soma dos percentuais dos coproprietários que irão vender é:
\[40\% + 15\% + 8\% + 2\% = 65\%\]Logo, a venda não corresponde à totalidade do imóvel, mas apenas a $65\%$. A quinta pessoa, que possui $35\%$, não entra no cálculo da DOI dessa transmissão, pois não está alienando sua parte ideal.
A soma total de todos os coproprietários é:
\[40\% + 15\% + 8\% + 2\% + 35\% = 100\%\]Mas, para a DOI desta venda, entram apenas os que estão vendendo:
\[40\% + 15\% + 8\% + 2\% = 65\%\]Portanto, a venda corresponde a apenas $65\%$ do imóvel. A quinta pessoa possui $35\%$ e não participa da venda, então ela não entra na base da DOI dessa transmissão.
1. Representando os percentuais como vetor
Na Álgebra Linear, colocamos os percentuais de todos os coproprietários em um vetor coluna:
\[\mathbf{p} = \begin{pmatrix} p_M \\ p_L \\ p_J \\ p_P \\ p_Q \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 40 \\ 15 \\ 8 \\ 2 \\ 35 \end{pmatrix}\]com $p_M = 40$, $p_L = 15$, $p_J = 8$, $p_P = 2$, $p_Q = 35$.
A soma total do vetor é:
\[40 + 15 + 8 + 2 + 35 = 100\]O imóvel inteiro está corretamente representado.
2. Separando apenas os vendedores
Como a quinta pessoa não vai vender, trabalhamos somente com os quatro vendedores. O vetor dos vendedores é:
\[\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 40 \\ 15 \\ 8 \\ 2 \end{pmatrix}\]A soma dos componentes de $\mathbf{v}$ é:
\[40 + 15 + 8 + 2 = 65\]3. O que a DOI exige?
A DOI precisa que a parte vendida seja considerada como uma nova base de $100\%$. Matematicamente, queremos transformar:
\[65\% \longrightarrow 100\%\]mantendo as proporções internas entre os vendedores ($40:15:8:2$). O novo vetor $\mathbf{x}$ deve satisfazer:
\[x_M + x_L + x_J + x_P = 100 \qquad \text{com} \qquad x_M : x_L : x_J : x_P = 40:15:8:2\]4. Modelo de Álgebra Linear
Como a transformação é proporcional, escrevemos $\mathbf{x} = \lambda\,\mathbf{v}$:
\[\begin{pmatrix} x_M \\ x_L \\ x_J \\ x_P \end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix} 40 \\ 15 \\ 8 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 40\lambda \\ 15\lambda \\ 8\lambda \\ 2\lambda \end{pmatrix}\]5. Usando a condição da DOI
A DOI precisa fechar em $100\%$:
\[x_M + x_L + x_J + x_P = 100\]Substituindo:
\[40\lambda + 15\lambda + 8\lambda + 2\lambda = 100\] \[65\lambda = 100\]Isolando $\lambda$:
\[\lambda = \frac{100}{65} = \frac{20}{13}\]6. Calculando o percentual DOI de cada vendedor
Aplicando $\mathbf{x} = \lambda\,\mathbf{v}$ com $\lambda = \dfrac{20}{13}$:
Marcos $(p_M = 40\%)$:
Leandro $(p_L = 15\%)$:
João $(p_J = 8\%)$:
Pedro $(p_P = 2\%)$:
7. Vetor DOI final
\[\mathbf{x} = \begin{pmatrix} \frac{800}{13} \\[4pt] \frac{300}{13} \\[4pt] \frac{160}{13} \\[4pt] \frac{40}{13} \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} 61{,}54 \\ 23{,}08 \\ 12{,}31 \\ 3{,}08 \end{pmatrix}\]| Vendedor | % real sobre o imóvel | % DOI exato | % DOI aprox. |
|---|---|---|---|
| Marcos | 40% | 800/13 % | 61,54% |
| Leandro | 15% | 300/13 % | 23,08% |
| João | 8% | 160/13 % | 12,31% |
| Pedro | 2% | 40/13 % | 3,08% |
| Quinta pessoa | 35% | Não entra | Não entra |
8. Conferindo a soma exata
\[x_M + x_L + x_J + x_P = \frac{800}{13} + \frac{300}{13} + \frac{160}{13} + \frac{40}{13} = \frac{800 + 300 + 160 + 40}{13} = \frac{1300}{13} = \boxed{100\%}\]A transformação está correta.
9. Escrevendo como matriz de transformação
A transformação $\mathbf{x} = \lambda\,\mathbf{v}$ é uma transformação linear de escala. Com $\lambda = \dfrac{20}{13}$ e $I_4$ a identidade de ordem 4, a matriz de transformação é $T = \dfrac{20}{13}\,I_4$:
\[T = \frac{20}{13} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{20}{13} & 0 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & \frac{20}{13} & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & \frac{20}{13} & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 0 & \frac{20}{13} \end{pmatrix}\]Então $\mathbf{x} = T\,\mathbf{v}$:
\[\begin{pmatrix} x_M \\ x_L \\ x_J \\ x_P \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{20}{13} & 0 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & \frac{20}{13} & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & \frac{20}{13} & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 0 & \frac{20}{13} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 40 \\ 15 \\ 8 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{800}{13} \\[4pt] \frac{300}{13} \\[4pt] \frac{160}{13} \\[4pt] \frac{40}{13} \end{pmatrix}\]10. Fórmula algébrica geral
A relação algébrica usada em cada cálculo individual é:
\[\text{Percentual DOI} = \frac{\text{percentual vendido pela pessoa}}{\text{total vendido}} \cdot 100\]Neste caso, o total vendido é $65\%$, então:
\[\text{Percentual DOI} = \frac{\text{percentual vendido pela pessoa}}{65} \cdot 100\]Aplicando para cada vendedor:
11. Resolução por EML
1. Dados do problema
Temos:
\[p_M = 40, \quad p_L = 15, \quad p_J = 8, \quad p_P = 2\]A soma vendida é:
\[S = 40 + 15 + 8 + 2\]Mas, pelo EML, podemos escrever uma soma usando:
\[a + b = \ln(e^a \cdot e^b)\]Para quatro parcelas:
\[40 + 15 + 8 + 2 = \ln(e^{40} \cdot e^{15} \cdot e^8 \cdot e^2)\]Então:
\[S = \ln(e^{40} \cdot e^{15} \cdot e^8 \cdot e^2)\]Como $e^{40} \cdot e^{15} \cdot e^8 \cdot e^2 = e^{40+15+8+2}$, temos:
\[S = \ln(e^{65})\]Como $\ln(e^{65}) = 65$, logo:
\[\boxed{S = 65}\]Portanto, a parte transmitida é $65\%$.
2. Fórmula da DOI
A fórmula proporcional comum é:
\[x_i = \frac{p_i}{S} \cdot 100\]onde $p_i$ é o percentual real vendido por cada pessoa e $S = 65$ é o total vendido.
Usando o EML, a divisão pode ser escrita como:
\[\frac{a}{b} = e^{\ln(a) - \ln(b)}\]Então:
\[\frac{p_i}{S} = e^{\ln(p_i) - \ln(S)}\]Como $S = 65$:
\[\frac{p_i}{65} = e^{\ln(p_i) - \ln(65)}\]Logo, a fórmula da DOI em forma EML é:
\[\boxed{x_i = 100 \cdot e^{\ln(p_i) - \ln(65)}}\]3. Marcos
Marcos vende $p_M = 40$, então:
\[x_M = 100 \cdot e^{\ln(40) - \ln(65)}\]Pela identidade $\ln(a) - \ln(b) = \ln!\left(\dfrac{a}{b}\right)$:
\[\ln(40) - \ln(65) = \ln\!\left(\frac{40}{65}\right)\]Logo:
\[x_M = 100 \cdot e^{\ln\!\left(\frac{40}{65}\right)}\]Como $e^{\ln(y)} = y$:
\[x_M = 100 \cdot \frac{40}{65}\]Simplificando $\dfrac{40}{65} = \dfrac{8}{13}$:
\[x_M = 100 \cdot \frac{8}{13} = \frac{800}{13} = 61{,}538\ldots\] \[\boxed{x_M \approx 61{,}54\%}\]4. Leandro
Leandro vende $p_L = 15$, então:
\[x_L = 100 \cdot e^{\ln(15) - \ln(65)}\]Pela identidade:
\[\ln(15) - \ln(65) = \ln\!\left(\frac{15}{65}\right)\]Logo:
\[x_L = 100 \cdot e^{\ln\!\left(\frac{15}{65}\right)} = 100 \cdot \frac{15}{65}\]Simplificando $\dfrac{15}{65} = \dfrac{3}{13}$:
\[x_L = 100 \cdot \frac{3}{13} = \frac{300}{13} = 23{,}076\ldots\] \[\boxed{x_L \approx 23{,}08\%}\]5. João
João vende $p_J = 8$, então:
\[x_J = 100 \cdot e^{\ln(8) - \ln(65)}\]Pela identidade:
\[\ln(8) - \ln(65) = \ln\!\left(\frac{8}{65}\right)\]Logo:
\[x_J = 100 \cdot e^{\ln\!\left(\frac{8}{65}\right)} = 100 \cdot \frac{8}{65} = \frac{800}{65}\]Simplificando por $5$:
\[x_J = \frac{160}{13} = 12{,}307\ldots\] \[\boxed{x_J \approx 12{,}31\%}\]6. Pedro
Pedro vende $p_P = 2$, então:
\[x_P = 100 \cdot e^{\ln(2) - \ln(65)}\]Pela identidade:
\[\ln(2) - \ln(65) = \ln\!\left(\frac{2}{65}\right)\]Logo:
\[x_P = 100 \cdot e^{\ln\!\left(\frac{2}{65}\right)} = 100 \cdot \frac{2}{65} = \frac{200}{65}\]Simplificando por $5$:
\[x_P = \frac{40}{13} = 3{,}076\ldots\] \[\boxed{x_P \approx 3{,}08\%}\]7. Resultado em forma EML
A fórmula geral usada foi:
\[x_i = 100 \cdot e^{\ln(p_i) - \ln(65)}\]Aplicando aos quatro vendedores:
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