Derivar e Integrar — As Duas Tabelas Lado a Lado
A tabela de derivadas e a tabela de integrais são a mesma tabela lida em sentidos opostos. Derivar anda um degrau para a direita; integrar, um degrau para a esquerda. O teorema fundamental garante que um passo desfaz o outro — quase: falta uma constante.
A escada
Escolha uma função e ande pela escada. O degrau do meio é f; à esquerda, a primitiva F; à direita, a derivada f′. Nos gráficos, arraste x: a inclinação de cada curva, no ponto, é a altura da curva de baixo.
O que se perde: o + C
Derivar apaga as constantes: x²/2, x²/2 + 1 e x²/2 − 3 têm todas a derivada x. Por isso, integrando x, não dá para saber qual delas era — a resposta é a família inteira, x²/2 + C. Mova C: as curvas sobem e descem, mas a inclinação em cada ponto não muda.
As duas tabelas numa só
Cada linha é um trecho de escada: a função no meio, a primitiva à esquerda, a derivada à direita. Os links levam ao card de cada regra, com a ideia e o teste; “na escada” carrega a família no painel de cima.
| Primitiva ∫f dx | Função f(x) | Derivada f′(x) | Ver | ||
|---|---|---|---|---|---|
| integral derivada | |||||
| integral derivada | |||||
| integral derivada | |||||
| integral derivada | |||||
| integral derivada | |||||
| integral | |||||
| integral derivada | |||||
| integral derivada | |||||
| integral derivada | |||||
| integral derivada |
A mesma escada na estatística
Toda variável contínua tem três degraus: a acumulada F(x) = P(X ≤ x), a densidade f(x) e a inclinação da densidade. Derivar a acumulada dá a densidade; integrar a densidade dá a acumulada.
Na exponencial, a escada é a de e^(−λx): densidade λe^(−λx), acumulada 1 − e^(−λx). Na normal, o degrau da acumulada não tem fórmula — é a tabela Z.
Teste você mesmo
1. Na escada de x³, quais são os dois degraus seguintes para a direita? E para a esquerda?
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Para a direita (derivando): 3x², depois 6x, depois 6. Para a esquerda (integrando): x⁴/4, depois x⁵/20.
2. Derivar e depois integrar sen x devolve sen x?
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Quase: derivando, cos x; integrando, sen x + C. A volta recupera a função a menos de uma constante — a única informação que a derivada apaga.
3. Qual função fica igual em todos os degraus da escada?
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eˣ (e qualquer múltiplo dela): é a própria derivada e a própria primitiva.
4. Quantos degraus para a direita até sen x voltar a ser sen x?
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Quatro: sen → cos → −sen → −cos → sen. Derivar o seno é girar um quarto de volta.