Constante
A área sob uma altura constante c é um retângulo: altura vezes largura. E a derivada de c·x é c.
Tabela de Integrais — As Primitivas e de Onde Vêm
Pelo teorema fundamental, integrar é achar uma primitiva: uma função cuja derivada é a que você tem. Esta tabela é a tabela de derivadas lida de trás para a frente, com a ideia de cada regra e um teste: a página mede a área com milhares de faixas e compara com F(b) − F(a).
Resumo
A todas se soma uma constante, o + C: constantes somem ao derivar, então F + C é primitiva para qualquer C. Nos cards, os controles a e b são o começo e o fim do intervalo e valem para todos; n é um expoente, c uma constante e k um coeficiente. O primeiro lado é a área medida, com milhares de faixas; o segundo, a conta pela primitiva.
Para ver as duas tabelas lado a lado, com a escada que vai da primitiva à derivada, abra Derivar e Integrar.
Básicas
Potência
A regra da potência das derivadas, ao contrário: o expoente sobe uma unidade e passa a dividir. Derive o resultado e o (n + 1) de cima cancela o de baixo. Não serve para n = −1, que dividiria por zero.
1/x: o caso que faltava
O buraco da regra da potência é preenchido pelo logaritmo: como a derivada de ln x é 1/x, a primitiva de 1/x é ln x. A área sob 1/x de 1 até x é a própria definição de ln x.
Raiz quadrada
É a regra da potência com n = 1/2: o expoente vira 3/2 e o 3/2 passa a dividir, o que dá o fator 2/3.
Exponenciais e logaritmos
Exponencial de Euler
Como eˣ é a própria derivada, é também a própria primitiva: a área acumulada sob eˣ cresce exatamente como eˣ.
Exponencial com coeficiente
Derivando e^(kx), a regra da cadeia traz um fator k; para desfazer, divide-se por k.
Exponencial de outra base
A derivada de 2ˣ tem o fator ln 2; a primitiva divide por ele. Vale para qualquer base positiva diferente de 1.
Logaritmo
Menos óbvia: sai da integração por partes (mais abaixo). Confira derivando: (x ln x − x)′ = ln x + 1 − 1 = ln x.
Trigonométricas
Seno
A derivada do cosseno é −seno, então a primitiva do seno é −cosseno. O sinal costuma enganar: derive o resultado para conferir.
Cosseno
A derivada do seno é o cosseno, então a primitiva do cosseno é o seno.
Seno com coeficiente
Como na exponencial, o fator k da regra da cadeia passa a dividir.
Técnicas: quando a função não está na tabela
Derivar é mecânico: há regra para tudo. Integrar não — muitas vezes é preciso reescrever a função até ela cair na tabela. As técnicas são as regras de derivação usadas ao contrário.
Soma
A área sob uma soma é a soma das áreas: dá para integrar termo a termo, como um polinômio.
Constante multiplicando
Esticar a altura por c estica a área por c: a constante sai da integral.
Substituição: a cadeia ao contrário
Quando aparece uma função de dentro, g, multiplicada pela própria derivada, g′, a integral desfaz a regra da cadeia. Exemplo: 2x · cos(x²) é a derivada de sen(x²).
Por partes: o produto ao contrário
Sai da regra do produto, (uv)′ = u′v + uv′, integrada. Exemplo: em ∫ x eˣ dx, com u = x e dv = eˣ dx, sobra ∫ eˣ dx, fácil: o resultado é (x − 1)eˣ.
Nem toda integral tem fórmula. e^(−x²), o sino da normal, não tem primitiva escrita com funções conhecidas. A área sob ela se calcula numericamente — é o que fazem a tabela Z e a integral gaussiana.
Teste você mesmo
1. Calcule ∫ (3x² + 4x − 5) dx.
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Termo a termo: x³ + 2x² − 5x + C.
2. Calcule a integral de 1/x de 1 a 10.
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ln 10 − ln 1 = ln 10 ≈ 2,303.
3. Calcule ∫ e^(3x) dx.
Ver resposta
e^(3x)/3 + C: o 3 que a regra da cadeia traria passa a dividir.
4. Calcule a integral de sen x de 0 a π.
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[−cos x] de 0 a π = −cos π − (−cos 0) = 1 + 1 = 2.
5. Calcule ∫ 2x · e^(x²) dx.
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Substituição: 2x é a derivada de x², a função de dentro. O resultado é e^(x²) + C.
6. Por que ∫ x⁻¹ dx não é x⁰/0?
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Porque a regra da potência dividiria por zero. O caso n = −1 é especial e tem resposta própria: ln|x| + C.