Teorema Fundamental — Derivar e Integrar se Desfazem
Até aqui, derivada e integral pareciam assuntos separados: uma mede inclinações, a outra mede áreas. O teorema fundamental do cálculo diz que uma desfaz a outra. Na prática, isso troca a soma de infinitos retângulos por uma conta de duas linhas — e é a razão de o cálculo funcionar.
A função área
Fixe o começo em 0 e deixe o fim, x, andar. A área sob f de 0 até x vira uma função de x: A(x). O gráfico de baixo desenha essa função. Olhe a inclinação dela e compare com a altura de f no mesmo ponto.
f(t) — sombreada, a área de 0 até x; a faixa clara é o pedaço que entra no próximo passo
A(x), a área acumulada — tracejada, a tangente no ponto
Por que funciona: a faixa fininha
Quando x anda um pouquinho, h, a área ganha uma faixa estreita: a faixa clara do primeiro gráfico. Ela é quase um retângulo de largura h e altura f(x):
À esquerda está a taxa média de A; quando h → 0, ela vira a derivada, e o “quase” vira igual: A′(x) = f(x). A área cresce exatamente na velocidade da altura da curva — como o volume do tanque crescia na velocidade da vazão.
O atalho: integrar sem retângulos
Se F é qualquer função cuja derivada é f — uma primitiva —, a área de a a b é só F(b) − F(a). Escolha a função e o intervalo, e compare com a soma de mil retângulos.
Passo a passo
Primitivas: a tabela de derivadas ao contrário
Achar uma primitiva — veja a tabela de integrais completa — é perguntar “de quem esta função é a derivada?” — por isso basta ler a tabela de derivadas de trás para a frente:
Nem toda função tem primitiva escrita com funções conhecidas: e^(−x²), o sino da normal, é o exemplo famoso. Aí volta a soma de retângulos — feita uma vez, com muito cuidado, e guardada numa tabela.
O teorema fundamental na estatística
Densidade e acumulada. A função de distribuição acumulada, F(x) = P(X ≤ x), é a função área da densidade. Pelo teorema, a densidade é a derivada da acumulada — a curva em sino é a inclinação da curva em S.
Probabilidade de um intervalo. P(a < X ≤ b) = F(b) − F(a): exatamente o atalho desta página. Na exponencial, a primitiva é conhecida e dá a fórmula 1 − e^(−λx).
A tabela Z. A densidade normal não tem primitiva em funções elementares. A tabela Z é a primitiva calculada numericamente e guardada: cada número dela é uma área de −∞ até z.
Teste você mesmo
1. Calcule a integral de 3x² de 0 a 2.
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Uma primitiva de 3x² é x³ (a derivada de x³ é 3x²). Então ∫₀² 3x² dx = 2³ − 0³ = 8.
2. Calcule a integral de cos x de 0 a π/2.
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Uma primitiva de cos x é sen x. Resultado: sen(π/2) − sen 0 = 1 − 0 = 1.
3. Calcule a integral de 1/x de 1 a e.
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Uma primitiva de 1/x é ln x. Resultado: ln e − ln 1 = 1 − 0 = 1.
4. Se A(x) é a área sob f(t) = t² de 0 até x, quanto vale A′(3)?
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Pelo teorema fundamental, A′(x) = f(x). Então A′(3) = 3² = 9 — sem precisar calcular área nenhuma.
5. O tempo até uma lâmpada queimar tem densidade 0,5e^(−0,5x), em anos. Qual a chance de ela durar até 2 anos?
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Uma primitiva de 0,5e^(−0,5x) é −e^(−0,5x). P(X ≤ 2) = [−e^(−1)] − [−e^0] = 1 − e^(−1) ≈ 63,2%. É a fórmula da distribuição exponencial.