Derivada — Dê Zoom Até Virar Reta
Chegue bem perto de qualquer curva lisa e ela parece uma reta. A inclinação dessa reta é a derivada: a taxa de variação num ponto, o número que a velocidade num instante procurava e que o limite sabe calcular.
O microscópio
Escolha uma função e um ponto e aumente o zoom. Com as duas escalas iguais, a inclinação que você vê é a inclinação de verdade. Em algum momento, a curva fica indistinguível de uma reta.
O gráfico da derivada
A derivada não é um número só: em cada ponto há uma inclinação, e juntas elas formam uma nova função, f′. Arraste o ponto pela curva de cima e veja a inclinação da tangente desenhar a curva de baixo.
A definição, peça por peça
A fórmula do topo junta as duas lições anteriores. A fração é a taxa média entre x e x + h: a inclinação da secante. O limite com h → 0 é o encolher do intervalo que leva a secante até a tangente.
Veja com x²: [(x + h)² − x²] / h = [2xh + h²] / h = 2x + h. Quando h some, sobra 2x. Geometricamente, um quadrado de lado x que cresce h ganha duas tiras de área x·h e um quadradinho h² que, para h pequeno, não conta.
Notação de Lagrange: “f linha de x”.
Notação de Leibniz: uma variação pequeníssima de y sobre uma de x. Lembra que a derivada é uma razão.
Notação de Newton, comum na física para derivadas no tempo: a velocidade.
Regras básicas
Ninguém calcula limite toda vez. Algumas derivadas, tiradas uma vez pela definição, viram regras — a tabela de derivadas mostra todas, com a ideia de cada uma e um teste com os seus números:
Uma constante não muda: inclinação zero.
Uma reta tem a mesma inclinação em todo ponto.
A regra da potência, que generaliza o 2x de x².
A exponencial cresce na velocidade do próprio tamanho — é isso que define o número e.
Sai do limite sen h / h → 1, da lição de limite.
A derivada de uma soma é a soma das derivadas; constantes multiplicando saem para fora.
Para funções dentro de funções, como sen(x²), entra a regra da cadeia. E a derivada também serve para achar raízes, pelo método de Newton, e para aproximar funções por polinômios, pela série de Taylor.
Derivadas na estatística
Achar o melhor. No ponto mais alto ou mais baixo de uma curva lisa, a tangente é horizontal: a derivada é zero. A reta da regressão linear sai assim — é a que zera a derivada da soma dos quadrados dos resíduos.
Máxima verossimilhança. Para estimar um parâmetro, procura-se o valor que torna os dados observados mais prováveis — de novo, onde a derivada se anula. É assim que se estimam desde uma proporção até os coeficientes de uma regressão logística.
Densidade. A densidade de uma variável contínua é a derivada da probabilidade acumulada: a curva em sino da normal é a inclinação da curva em S de P(X ≤ x).
Teste você mesmo
1. Pela definição, mostre que a derivada de f(x) = 3x é 3.
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[f(x + h) − f(x)] / h = [3x + 3h − 3x] / h = 3h / h = 3, para qualquer h ≠ 0. O limite é 3: a reta y = 3x tem inclinação 3 em todo ponto.
2. Qual a derivada de x³? E de 5x² + 2x − 7?
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Pela regra da potência, (x³)′ = 3x². Derivando termo a termo, (5x² + 2x − 7)′ = 5 · 2x + 2 − 0 = 10x + 2: constantes somadas não mudam a inclinação.
3. Em que ponto a parábola y = x² − 6x + 5 tem tangente horizontal?
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Tangente horizontal é derivada zero: 2x − 6 = 0, então x = 3. É o vértice da parábola, o ponto mais baixo, em y = 9 − 18 + 5 = −4.
4. A posição de uma pedra que cai é s(t) = 4,9t² metros. Qual a velocidade dela em t = 2 s?
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A velocidade é a derivada da posição: s′(t) = 9,8t. Em t = 2, 19,6 m/s — a cada segundo de queda, a velocidade aumenta 9,8 m/s, a aceleração da gravidade.
5. Olhando o gráfico de f′, como saber onde f é crescente?
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Onde f′ é positiva, a inclinação de f é para cima: f cresce. Onde f′ é negativa, f decresce; onde f′ cruza o zero, f tem um topo ou um fundo.