Constante
Uma constante não muda quando x muda: o gráfico é uma reta horizontal, de inclinação zero. Pela definição, f(x + h) − f(x) = c − c = 0, para qualquer h.
Tabela de Derivadas — De Onde Vem Cada Regra
Na lição anterior, a derivada era um limite. Calcular o limite toda vez cansaria: por isso as derivadas das funções básicas — constante, potência, eˣ, logaritmo, seno — foram tiradas uma vez e viraram uma tabela. Aqui está cada regra com a ideia por trás dela e um teste com os seus números: a página calcula a derivada pela definição e compara com a regra.
Resumo
Em cada card abaixo, os controles valem para todos: x é o ponto onde se mede a inclinação; n, o expoente; a, uma base ou um coeficiente; c, uma constante. O primeiro lado é a derivada pela definição — o limite, com um passo minúsculo —, e o segundo, pela regra. O gráfico mostra a função e a tangente no ponto.
Para ver as duas tabelas lado a lado, com a escada que vai da primitiva à derivada, abra Derivar e Integrar.
Básicas
A própria variável
O gráfico de y = x sobe exatamente 1 para cada 1 que anda: inclinação 1 em todo ponto. Pela definição, [(x + h) − x] / h = h / h = 1.
Reta
Toda reta tem a mesma inclinação em todo lugar: o coeficiente que multiplica x. O termo solto, b, só sobe ou desce a reta, sem inclinar.
Potência
O expoente desce multiplicando e diminui uma unidade. Para x²: (x + h)² − x² = 2xh + h², que dividido por h dá 2x + h → 2x. Vale para qualquer expoente, inclusive negativo e fracionário.
Raiz quadrada
É a regra da potência com n = 1/2, porque √x = x^(1/2). A inclinação fica cada vez menor: a raiz cresce, mas cada vez mais devagar.
Inverso
A potência com n = −1. O sinal negativo diz que 1/x diminui quando x aumenta, e o x² embaixo diz que essa queda vai ficando suave.
Exponenciais e logaritmos
Exponencial de Euler
A única função (a menos de um fator) que é a própria derivada: em todo ponto, a inclinação é igual à altura. É isso que torna o número e especial — crescer na velocidade do próprio tamanho.
Exponencial de outra base
Escrevendo aˣ = e^(x ln a), a regra da cadeia traz o fator ln a. Para a = e, ln e = 1 e volta a regra anterior. Base maior, crescimento mais rápido.
Logaritmo natural
O logaritmo cresce sempre, mas cada vez mais devagar: em x = 1 a inclinação é 1, em x = 10, só 0,1. É por isso que ele “achata” dados com cauda longa.
Logaritmo em outra base
Pela mudança de base, logₐ x = ln x / ln a: é o logaritmo natural dividido por uma constante, e a derivada também.
Trigonométricas
Com x em radianos — é só nessa unidade que a derivada do seno é o cosseno, sem fator extra.
Seno
Sai do limite sen h / h → 1, visto na lição de limite. Onde o seno está no topo, a inclinação é zero — e o cosseno vale zero ali.
Cosseno
O cosseno é o seno adiantado de um quarto de volta, e a derivada também. O sinal negativo: logo depois de x = 0, o cosseno começa a descer.
Tangente
Sai da regra do quociente aplicada a sen x / cos x. Como cos² x nunca passa de 1, a inclinação da tangente é sempre pelo menos 1: ela só sobe.
Combinando funções
Com a tabela e estas cinco regras, dá para derivar qualquer função escrita com as funções básicas.
Soma
A inclinação de uma soma é a soma das inclinações: o que cada parte sobe se junta. É o que permite derivar um polinômio termo a termo.
Constante multiplicando
Esticar o gráfico na vertical por um fator c estica todas as inclinações pelo mesmo fator.
Produto
Pense num retângulo de lados f e g: quando os dois crescem um pouco, a área ganha uma tira f′·g de um lado e uma tira f·g′ do outro. O cantinho que sobra é pequeno demais para contar.
Quociente
Sai da regra do produto aplicada a f · (1/g). A ordem importa no numerador: primeiro f′ · g, depois o menos.
Cadeia
Para uma função dentro de outra, multiplique as duas derivadas: se g corre a vezes mais que x, f(g) também. A calculadora da regra da cadeia monta outras combinações.
Teste você mesmo
1. Derive f(x) = 7.
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f′(x) = 0: uma constante não muda.
2. Derive f(x) = x⁵ − 4x² + 3x − 9.
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Termo a termo: 5x⁴ − 8x + 3. A constante −9 some.
3. Derive f(x) = 3eˣ + ln x.
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3eˣ + 1/x: a constante 3 fica multiplicando, e cada parte segue a sua regra.
4. Derive f(x) = x² · sen x.
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Pela regra do produto: 2x · sen x + x² · cos x = 2x sen x + x² cos x.
5. Derive f(x) = e^(3x).
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Regra da cadeia: a derivada de fora é e^(3x) e a de dentro, 3. Resultado: 3e^(3x).
6. Derive f(x) = 1/x³.
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Escreva como x⁻³: a regra da potência dá −3x⁻⁴ = −3/x⁴.