Máximos e Mínimos — Onde a Inclinação Zera
No ponto mais alto de um morro, você não está subindo nem descendo: o chão está plano. Com curvas é igual — no topo e no fundo, a tangente fica horizontal e a derivada vale zero. É assim que o cálculo acha o melhor de alguma coisa: a maior caixa, o menor custo, a estimativa que menos erra.
A maior caixa
De uma folha quadrada de papelão de lado L, corte um quadrado de lado x em cada canto e dobre as abas: vira uma caixa aberta. Corte pouco e a caixa fica rasa; corte muito e ela fica estreita. Que corte dá o maior volume?
Topo, fundo ou nenhum dos dois?
Derivada zero marca os candidatos — os pontos críticos. Para saber o que cada um é, olhe a segunda derivada, f″: ela diz se a curva está virada para cima, como um sorriso, ou para baixo. Arraste o ponto pela curva.
A receita
- Escreva o que quer otimizar como função de uma variável. Na caixa: V(x) = x(L − 2x)².
- Derive e iguale a zero. V′(x) = (L − 2x)(L − 6x) = 0 dá x = L/2 ou x = L/6.
- Classifique. Pela segunda derivada (negativa: máximo; positiva: mínimo) ou pelo sinal de f′ antes e depois do ponto.
- Confira as pontas. Num intervalo fechado, o melhor pode estar na borda. Na caixa, x = 0 e x = L/2 dão volume zero; o máximo é em x = L/6.
Máximo local: a curva está virada para baixo, como um morro.
Mínimo local: virada para cima, como um vale.
Inconclusivo: pode ser topo, fundo ou um patamar, como x³ em 0. Olhe o sinal de f′ dos dois lados.
Na estatística: a média e a mediana são mínimos
Com os dados 1, 2, 3, 4 e 20, procure um número c que fique “perto” de todos. Medindo a distância pelos quadrados, Σ(xᵢ − c)², o melhor c é a média; medindo pelos valores absolutos, Σ|xᵢ − c|, é a mediana. Arraste c e veja as duas somas.
soma dos quadrados dos desvios, Σ(xᵢ − c)²
soma dos desvios absolutos, Σ|xᵢ − c|
Mais otimização na estatística
Regressão. A reta da regressão linear é a que minimiza a soma dos quadrados dos resíduos. Derivando em relação à inclinação e ao intercepto e igualando a zero, saem as fórmulas de b₀ e b₁.
Máxima verossimilhança. O valor de um parâmetro que torna os dados mais prováveis é um máximo. Com k sucessos em n tentativas, maximizar pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ dá p = k/n — a proporção observada, como se espera.
Quando não há fórmula, o computador procura o mínimo andando ladeira abaixo, guiado pela derivada, ou acha onde ela zera pelo método de Newton.
Teste você mesmo
1. Ache o ponto mais baixo da parábola y = x² − 8x + 3.
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y′ = 2x − 8 = 0 dá x = 4. Como y″ = 2 > 0, é um mínimo, em y = 16 − 32 + 3 = −13.
2. Com 40 m de cerca, qual o retângulo de maior área?
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Lados x e 20 − x: área A = x(20 − x) = 20x − x². A′ = 20 − 2x = 0 dá x = 10: o melhor retângulo é o quadrado de 10 m, com 100 m².
3. Classifique os pontos críticos de f(x) = x³ − 12x.
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f′ = 3x² − 12 = 0 em x = ±2. f″ = 6x: em x = 2, f″ = 12 > 0, mínimo; em x = −2, f″ = −12 < 0, máximo.
4. f(x) = x³ tem derivada zero em x = 0. É máximo ou mínimo?
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Nenhum dos dois. f′ = 3x² é positiva dos dois lados de 0: a função sobe, dá uma pausa e continua subindo. Derivada zero é necessária para um topo ou fundo, mas não basta.
5. Para os dados 2, 4, 9, que número c deixa a soma (2 − c)² + (4 − c)² + (9 − c)² a menor possível?
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Derivando: −2(2 − c) − 2(4 − c) − 2(9 − c) = 0, ou seja, 15 − 3c = 0 e c = 5 — a média dos três. É por isso que a média é a estimativa de “mínimos quadrados”.