Integral — Área Como Acúmulo
A derivada pergunta quão rápido algo muda. A integral faz a pergunta ao contrário: sabendo quão rápido muda a cada instante, quanto se acumulou no total? Com velocidade constante, é só multiplicar. Quando a taxa varia, a resposta é a área sob o gráfico — e para medir essa área, retângulos cada vez mais finos.
Enchendo um tanque
Uma torneira abre aos poucos, fica bem aberta e fecha de novo em 10 minutos. O gráfico de cima mostra a vazão, em litros por minuto, a cada instante. Quanta água entrou até o instante t? Litros por minuto vezes minutos dá litros: é a área sob a vazão até t.
vazão (L/min) — a área sombreada é a água que já entrou
volume no tanque (L) — a curva da área acumulada
Medindo a área com retângulos
Área de retângulo é fácil: base vezes altura. Então divida o intervalo em n faixas, troque a curva de cada faixa por um retângulo e some. Aumente n e veja a soma chegar no valor exato.
A notação, peça por peça
O símbolo da integral é um S alongado, de “soma” — foi Leibniz quem o escolheu. Ele lembra que a integral é a soma de infinitos retângulos infinitamente finos.
“Some de a até b”: os limites do intervalo.
A altura de cada retângulo: o valor da função naquele ponto, como a vazão num instante.
A largura de cada retângulo, que no limite fica infinitamente pequena. Altura × largura: f(x) dx é a área de uma faixa.
Área com sinal
Abaixo do eixo, a altura f(x) é negativa, e o retângulo entra na soma com sinal negativo. A integral é uma área com sinal: o que fica acima soma, o que fica abaixo subtrai. Na opção “sen x de 0 a 2π”, as duas metades se cancelam e a integral dá zero.
Faz sentido no tanque: vazão negativa é água saindo. O volume final é o que entrou menos o que saiu.
A área de uma soma é a soma das áreas.
Esticar a altura por c estica a área por c.
Áreas de trechos vizinhos se juntam.
Integrais na estatística
Probabilidade é área. Numa variável contínua, a chance de cair entre a e b é a área sob a densidade nesse trecho. Na opção da normal, os retângulos chegam a 0,95: são os 95% entre −1,96 e 1,96 que aparecem em todo intervalo de confiança.
A área total é 1. Toda densidade tem área total 1 — tudo o que pode acontecer. Para a normal, isso só funciona por causa da integral gaussiana, que dá o √(2π) da fórmula.
A média é uma integral. O valor esperado de uma variável contínua é ∫ x f(x) dx: cada valor pesado pela sua densidade, a versão contínua do valor esperado como soma.
Somar retângulos funciona, mas dá trabalho. A próxima lição mostra o atalho: para achar a área, basta conhecer uma função cuja derivada é f — o teorema fundamental do cálculo.
Teste você mesmo
1. Um carro anda a 20 m/s constantes durante 30 s. Quanto ele percorre, e que área é essa no gráfico de velocidade?
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Velocidade × tempo = 20 × 30 = 600 m. No gráfico de velocidade, é a área do retângulo de altura 20 e largura 30.
2. Qual a área sob y = 2x de x = 0 a x = 3?
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É um triângulo de base 3 e altura 6: (3 × 6) ÷ 2 = 9. A integral de 0 a 3 de 2x dx vale 9.
3. Estime a área sob y = x² de 0 a 2 com 4 retângulos pela borda direita.
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Larguras de 0,5; alturas f(0,5), f(1), f(1,5), f(2) = 0,25; 1; 2,25; 4. Soma × 0,5 = 7,5 × 0,5 = 3,75. O valor exato é 8/3 ≈ 2,667: pela direita, numa curva que sobe, a soma passa do valor.
4. Quanto vale a integral de sen x de 0 a 2π, e por quê?
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Zero. A área acima do eixo, de 0 a π, vale 2; a de baixo, de π a 2π, vale −2. A integral soma áreas com sinal, e as duas se cancelam.
5. Se a densidade de uma variável é f(x) = 1/10 entre 0 e 10, qual a chance de X ficar entre 2 e 5?
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Área sob a densidade de 2 a 5: largura 3 × altura 1/10 = 0,3, ou 30%. Em variáveis contínuas, probabilidade é área.