Dízimas Periódicas — A Fração Geratriz
Uma dízima periódica é um decimal infinito em que um bloco de algarismos se repete para sempre: 1/3 = 0,333…, 1/7 = 0,142857142857… Toda fração vira um decimal exato ou uma dízima — e toda dízima volta a ser uma fração.
Por que os algarismos se repetem
Os nomes
- Período: o bloco que se repete. Em 0,1666…, é o 6. Escreve-se com um traço em cima, 0,16, ou entre parênteses, 0,1(6).
- Anteperíodo: o que vem depois da vírgula e antes do período, e não se repete. Em 0,1666…, é o 1.
- Simples ou composta: sem anteperíodo, a dízima é simples (0,333…); com ele, composta (0,1666…).
Quem decide é o denominador da fração simplificada. Só com fatores 2 e 5 (como 8 = 2³ ou 20 = 2² × 5), o decimal é exato. Com qualquer outro primo, é dízima — e, se houver também 2 ou 5, ela tem anteperíodo. Fatore o denominador na página de primos para prever o que vem.
A fração geratriz
O caminho de volta: de uma dízima, a fração que a gerou. Escreva o período entre parênteses — 0,(3), 0,1(6), 2,1(45) — ou com reticências depois de algumas repetições, como 0,1666...
Passo a passo
0,999… é igual a 1
Não “quase 1”, nem “tende a 1”: é o mesmo número escrito de outro jeito. Três argumentos, cada um suficiente:
- Pela fração: 1/3 = 0,333… Multiplicando por 3: 3/3 = 0,999… E 3/3 = 1.
- Pela geratriz: x = 0,999…, 10x = 9,999…, e subtraindo, 9x = 9. Então x = 1.
- Pela distância: se fossem números diferentes, haveria algum número entre eles — a média dos dois, por exemplo. Mas não há decimal que caiba entre 0,999… e 1: qualquer um que você escreva é menor que 0,999… a partir de alguma casa.
Há ainda um quarto caminho: 0,999… = 9/10 + 9/100 + 9/1000 + … é uma progressão geométrica infinita, e a soma dela dá exatamente 1 — veja a dízima periódica como PG infinita.
Por isso todo decimal exato tem duas escritas: 0,5 = 0,4999… A estranheza vem de imaginar o “…” como um processo que nunca termina; ele é, na verdade, o número inteiro, com todas as infinitas casas já lá.
Armadilhas
Arredondar não é igual. 0,33 é 33/100; 1/3 é um pouquinho mais. Para contas exatas, use a fração.
O anteperíodo muda a geratriz. 16/99 = 0,1616…; para 0,1666… é (16 − 1)/90 = 1/6.
Infinito não é periódico. π e √2 têm infinitas casas, mas nenhum bloco se repete: não são frações. Veja as constantes.
A calculadora corta. Ela mostra 8 a 12 casas e arredonda a última; o resto da dízima some. Veja arredondamento.
Teste você mesmo
1. Ache a fração geratriz de 0,777…
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x = 0,777…, 10x = 7,777…; subtraindo, 9x = 7: x = 7/9.
2. Ache a fração geratriz de 0,2(36) = 0,23636…
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(236 − 2)/990 = 234/990 = 13/55.
3. Sem dividir, diga se 7/40, 5/12 e 9/14 dão decimal exato ou dízima.
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40 = 2³ × 5: exato (0,175). 12 = 2² × 3: o 3 faz dízima, e o 2² dá anteperíodo (0,41666…). 14 = 2 × 7: dízima com anteperíodo (0,6428571…).
4. Quantos algarismos tem o período de 1/7? E o de 1/13?
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1/7 = 0,(142857): 6, o máximo possível para o 7 (são 6 restos diferentes de zero). 1/13 = 0,(076923): também 6, menos que os 12 possíveis.
5. Calcule 0,333… + 0,666… e explique o resultado.
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1/3 + 2/3 = 3/3 = 1. Somando casa a casa dá 0,999…, que é o mesmo número.