Primos e Divisibilidade
Um número primo é um inteiro maior que 1 que só é divisível por 1 e por ele mesmo: 2, 3, 5, 7, 11… Todos os outros se escrevem como produto de primos, de um jeito só — os primos são os átomos da multiplicação.
O crivo de Eratóstenes
Fatorar e testar um número
Digite um inteiro: ele é decomposto em primos por divisões sucessivas, e cada critério de divisibilidade é aplicado a ele.
Divisões sucessivas
Critérios de divisibilidade
Passo a passo
Por que os critérios funcionam
Todo critério sai de escrever o número pelas casas. Com 1452 = 1 × 1000 + 4 × 100 + 5 × 10 + 2:
- 2, 5 e 10: 10, 100, 1000 já são divisíveis por 2, 5 e 10. Só a última casa decide.
- 4 e 8: 100 é múltiplo de 4, e 1000 é múltiplo de 8. Decidem os dois e os três últimos algarismos.
- 3 e 9: 10 = 9 + 1, 100 = 99 + 1, 1000 = 999 + 1. Tirando os múltiplos de 9, sobra 1 + 4 + 5 + 2: a soma dos algarismos deixa o mesmo resto que o número na divisão por 3 e por 9.
- 11: 10 = 11 − 1, 100 = 99 + 1, 1000 = 1001 − 1. As casas alternam +1 e −1: decide a soma alternada, 2 − 5 + 4 − 1 = 0.
Fatos sobre os primos
Por convenção — e por um bom motivo. Se 1 fosse primo, 6 = 2 × 3 = 1 × 2 × 3 = 1 × 1 × 2 × 3… e a fatoração deixaria de ser única.
O único primo par. Todo outro par é divisível por 2.
Os primos não acabam (Euclides). Multiplique todos os primos de uma lista e some 1: o resultado não é divisível por nenhum deles, então há um primo fora da lista.
Parece primo, não é. Números “redondos” enganam: teste antes de concluir.
Teorema fundamental da aritmética: cada inteiro maior que 1 tem uma única fatoração em primos, a menos da ordem.
Para onde os primos levam
MDC e MMC. Com os dois números fatorados, o MDC fica com os primos comuns no menor expoente, e o MMC, com todos os primos no maior expoente.
Frações. Simplificar uma fração é cancelar os primos que o numerador e o denominador têm em comum.
Segurança na internet. A criptografia RSA usa o fato de que multiplicar dois primos grandes é fácil, mas descobrir quais foram multiplicados, só tendo o produto, é dificílimo.
Teste você mesmo
1. 91 é primo?
Ver resposta
Não: 91 = 7 × 13. Não é par, a soma 10 não é múltiplo de 3, não termina em 0 ou 5 — mas o 7 divide.
2. Fatore 504.
Ver resposta
504 ÷ 2 = 252, ÷ 2 = 126, ÷ 2 = 63, ÷ 3 = 21, ÷ 3 = 7, ÷ 7 = 1. 504 = 2³ × 3² × 7.
3. Sem dividir, diga se 7326 é divisível por 3, por 6 e por 9.
Ver resposta
Soma dos algarismos: 7 + 3 + 2 + 6 = 18. É múltiplo de 3 e de 9, e o número é par: divisível por 3, 6 e 9.
4. Quantos divisores tem 72?
Ver resposta
72 = 2³ × 3². Expoentes 3 e 2: (3 + 1) × (2 + 1) = 12 divisores.
5. Qual algarismo pode ocupar o lugar do ? em 52?4 para o número ser divisível por 9?
Ver resposta
5 + 2 + ? + 4 = 11 + ? tem de ser múltiplo de 9: 18, então ? = 7 (5274 = 9 × 586).